数学

从整数同余理解左右陪集，证明陪集划分与 Lagrange 定理，并用例子区分必要条件和存在性。

用整数、非零实数与置换理解群公理，证明子群判别法，并分清有限情形与一般情形。

从同态的核理解正规子群，证明商群运算与代表元无关，再推导群同态基本定理并练习求核与像。

从生成子群的最小性理解循环群，用指数何时相同区分有限与无限情形，并练习寻找生成元。

从最小正周期出发，证明幂的阶公式，辨清 Lagrange 定理的方向，再计算循环群中的阶分布、方程根数与直积中的阶。

用上下和控制所有黎曼和：分割加细、可积判别的完整证明，以及例题、反例与练习。

围绕群、环、域与模组织抽象代数笔记，并给出适合连续阅读的入口。

从群作用出发整理轨道、稳定子、类方程与 Burnside 引理之间的关系。

用特征线方法求解一阶线性偏微分方程，并整理初值条件的处理过程。

Hahn-Banach 定理的实形式、复形式及其在线性泛函延拓中的作用。

一则关于如何在 MDX 中保持定义、命题和证明草图可读的小笔记。

记录行内公式、行间公式与兼容写法在网页阅读中的排版边界。

确定 Petersen 图的独立数 (independent number, 最大独立集的大小)、团数 (clique number, 最大团的大小) 和染色数。

证明或证伪: 如果 是仅有的两个度数为奇数的点, 那么存在一条 -path。

10. 若 在 上绝对连续, 那么 在 上几乎处处可微。

收录实变函数往年期末试题与解答，涵盖测度、收敛、积分和有界变差函数。

在准备 级强基抽象代数期末考试前, 按照对张强老师往年题的观察应该会考察 阶群是否可解, 是否为单群 由于证明过程过为复杂, 故写下本部分作为记录。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

偏微分方程期中试题，涵盖变分原理、波动方程、特征函数正交性与能量估计。

介绍变分问题的允许函数类、必要条件，并讨论极小曲面与膜平衡问题。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

根据下极限的定义, 存在一个子列 使得 又 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 . 再使用 Fatou 引理。

补充可测性的等价刻画、简单函数运算、依测度收敛与 Riesz 逆定理。

利用 Holder 不等式 再对上式开 次根号即可得到。

常微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

数理统计中关于「常用分布」的主题笔记。

数理统计中关于「常用离散分布」的课程笔记。

抽象代数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

按基本代数结构、群作用、Sylow 定理、环与理想、域扩张整理 60 个讲义入口。

收录 2020 至 2023 级抽象代数期末回忆题及参考解答，涉及群、环、域与多项式等内容。

一维热传导方程初值问题 若 , 那么积分 有意义, 称其为 的 Fourier 变换, 记作。

我们采用“最大边优先”的词典序：比较两棵树 时，先比较 ；若相等，再比较 ，依此类推。

区分候选算法的排序开销、并查集实现条件、在线交换代价与尚未证明的最优性。

归纳已经确认的建模与可行性结论，并列出算法证明、边界验证和实验所缺的证据。

界定最大边优先的词典序目标，整理基树构造、离线候选算法及尚待完成的证明与实验。

明确顶点度数恰好约束和最大边优先的词典序目标，通过五条边的例子逐步确定最优树。

整理单调函数几乎处处可微与单调函数列逐项微分的两个基本定理。

数学分析中关于「导数的应用」的主题笔记。

(i) 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 ) 的并集 (ii) 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

黎曼积分、Darboux 上下和、可积判别，以及微积分学基本定理与积分中值定理。

梯度算子, 对每一分量求偏导的向量 eg 散度, 理解为 , 即先算梯度再做点积, eg {curl} 旋度, 理解为 , 即先算梯度, 再做叉积 拉普拉斯算子, 针对空间变量, 对每一维的二阶偏导求和。

常微分方程中 Bernoulli 方程、Riccati 方程与平衡点的现有条目导航。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

生成子图 (spanning subgraph): 点集为 的子图。

介绍度量空间、距离函数及其基本性质，并结合典型问题整理度量的验证方法。

从可微、方向导数和雅可比矩阵出发，整理链式法则、有限增量定理、反函数定理和隐函数定理。

从欧氏空间中的开闭集、紧致性与连通性出发，整理多元函数极限、连续映射及其基本判别定理。

记录高阶方程的降阶思路、线性微分算子、初值问题、叠加原理与常系数齐次方程的特征方程。

数学分析中关于「反常积分」的主题笔记。

泛函分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

整理度量空间中的稠密集、疏集、第一纲集、第二纲集与 Baire 纲定理。

泛函分析定义与主要定理的复习索引，并链接到完整课程章节。

令 是 在 度量下的完备化空间 证明 (1) 是 中的列紧集 (2) 是 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理)。

按自反性、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 理论整理 13 道期末复习题及证明。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

设有定义在 上的非负可测函数渐升列 且有 , 则。

介绍非线性高阶方程的一阶系统化、自治与非自治系统、相空间、平衡点及 Lyapunov 稳定性，并附练习。

复变函数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

1. 求下列复数 的模 与辐角的主值 (1) (2)。

复变函数中关于「2」的习题与证明。

复数及其运算, 共轭复数, 复数的模等定义与高中相同。

数理统计中关于「复随机变量」的课程笔记。

的左垂直 是 的闭子空间; 的右垂直 是 的闭子空间。

概率论的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

10. 若 为随机事件, 说明下列各关系式的概率意义。

将样本空间 的一些子集所构成的类 叫做事件 域, 仅当它满足如下三条规定 (1) (2) 只要 , 就有 (3) 只要 , 就有。

常用变换 (1) 平移变换: 线性函数 其中 为常数, 这个函数把所有点向 方向, 平移 的距离 (2) 相似变换: 线性函数 , 其中 (3) 旋转变换: 线性函数 , 其中 (4) 任何一个线性函数 都可以表示为平移、旋转和相似变换的复合 (5) 分式线性变换。

高等代数课程入口；公开章节尚在核对与整理。

本质上就是初等数学中的消元法, 但是规范了求解步骤, 便于编写计算机程序。

用球面平均法推导三维波动方程的 Kirchhoff 公式，并组合初位移、初速度与外力的贡献。

整理第二共轭空间的自然嵌入、自反空间、共轭算子的性质与练习。

数学分析中关于「含参变量的积分与反常积分」的主题笔记。

数学分析中关于「函数列与函数项级数」的主题笔记。

从环同态、理想和商环出发，整理整环、高斯整数与分式域的基本构造。

介绍一维波动方程混合问题及其广义解的积分恒等式定义。

与波动方程的区别在于此时 对应的 ODE 是一阶的, 故解是指数函数而不是三角函数。

数学分析中关于「积分表」的主题笔记。

完全图 (complete graph): 简单图, 任意两点间有边。

整理 Laplace 方程的基本解、Green 公式与解的积分表示。

复数中极限定义与实数有区别, 因为复数是在二维平面内, 所以其极限可以从任意方向逼近. 可以类比 中的极限, 但并不完全一样。

整理极小曲面问题所需的光滑试验函数、逼近核与基本引理。

设满足 , 则 不能在 内达到它在 上的非负最大值。

设 且满足 , 则 在 上的最大值必在 的抛物边界 上达到, 即。

整理集合的基本运算、De Morgan 法则、集合列极限及上下极限。

介绍拓扑空间与度量空间中的紧集，并整理紧性的基本性质及证明。

概率论中关于「矩与分位数」的课程笔记。

由 , 取 , 存在 , 使得满足 的任意有限个不相交的区间有 考虑取正整数 满足 , 那么可以将 分为 个区间 , 则 . 而在每个小区间上, 由于区间长度小于 , 从而对任意分划, 有总长度满足绝对连续于是 , 从而有 . 即。

整理可测函数的定义、基本闭包性质以及二元函数可测性的典型证明。

整理可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛与相关判别结果。

整理 Lusin 定理及其证明，说明可测函数如何在删去小测度集合后表现为连续函数。

整理 Lebesgue 可测集的定义、可测集类性质及测度的连续性。

由 是开集, 所以 , 存在 , 使得 , 于是 . 从而。

若 , 则对任给 , 存在 上具有紧支集的连续函数 , 使得。

{可解群, 单群, Jordan-Holder 定理}。

离散数学的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

设 和 是从集合 到 得二元关系, 证明 [leftmargin=1.5cm] (1) (2)。

设 的生成元为 , 同态为 , 那么 . 从而 . 即 中的所有元素都可以表示成 的整数次幂, 进而 是循环群。

离散数学中关于「第七次作业」的主题笔记。

离散数学第三次作业，涉及关系复合、传递闭包、等价关系与偏序关系；附关系图及 Hasse 图。

[leftmargin=1.5cm] (1) 单射 (3) 都不是 (5) 双射 (7) 都不是。

(1) 是 (3) 是 (5) 不是 (7) 是 (9) 是。

[leftmargin=1.5cm] (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)。

梳理列紧、完全有界、有限网与可分性的关系，并附相关证明和练习。

介绍环上的左模与右模、子模、商模、模同态及同态基本定理，并整理自由模、基和秩。

整理内积与 Hilbert 空间的基本结构、常用不等式、极化恒等式和同构。

作变量替换 易知 也就是说第一型欧拉积分具有对称性。

偏微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

圆锥杆纵振动、变分问题及其边值形式，以及一阶方程的特征线法练习。

波动方程的斜线初值、偶延拓与半无界问题唯一性练习。

2pt] u{t=0}=(x), & -<x< {cases}。

围绕半无界热传导、分离变量、边界条件和解的导数估计整理第 4 次作业。

整理热方程的最大值原理、唯一性与能量估计，以及典型区域 Green 函数练习。

圆盘内外的调和函数、Neumann 边值问题与上半平面 Poisson 公式练习。

4pt] { u}{ n}+(x)u{1}=1 u{2}=2 {cases}。

4pt] u(0)=u(1)=0 {cases}。

围绕 Harnack 定理、调和函数与极值原理整理的偏微分方程习题与证明。

整理光滑曲面的参数表示与面积公式；一型、二型曲面积分、定向、高斯公式和斯托克斯公式尚未展开。

系统整理曲线弧长、一型与二型曲线积分、格林公式及其在调和函数中的应用。

利用上确界讨论实数集的聚点，证明两个互补非空子集中至少一方含有另一方的聚点。

如果群 的子群 满足: , 有 那么称 是 的正规子群, 记作。

给出群同构于两个子群直积的判定条件，并说明其与集合乘积可交换条件的区别。

系统整理群作用、忠实作用与 Cayley 定理，推导轨道-稳定子定理、类方程和 Burnside 引理，并讨论 p-群应用。

偏微分方程中关于「热传导」的课程笔记。

介绍商空间的等价类、线性运算、商范数、完备性与自然同态。

从最小叶删除到序列解码，建立 Cayley 公式与度数计数，再用拉普拉斯矩阵计算生成树数量。

实变函数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

P11/1: 试证明: 设 以及 都是定义在 上的实值函数, 且有 则对 , 有。

P218/8: 试证明 当且仅当存在 上的递增函数 , 使得。

P232:3-4; P242-243:9-11, 17-20。

P54/5: 试作开圆盘 与闭圆盘 之间的一一对应。

P71/3: 设 . 若对任意的 , 存在开球 , 使得 , 试证明。

P94/8,9,11,12,13;P107/1,2,3。

整理可测函数的复合、导函数可测性与有界逼近等第 5 次作业。

整理可测函数列、几乎处处收敛及相关测度判别的第 6 次作业。

P189/2: 设 在 上非负可积, , 且 存在, 试证明存在积分。

整理非负可积函数、幂函数可积性与积分估计等第 8 次作业。

P159/2: 试证明函数列 在 不是依测度收敛于 的。

设 和 是统一概率空间 中的两个事件, 如果有 则称事件 和事件 相互独立。

数理统计的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

数学分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

汇集简单曲线、光滑曲线段、第一型曲线积分与格林公式的讲义入口。

数值分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

1、已知准确值 , 则近似值: 有\\\\位有效数字, 有\\\\位有效数字。

题目源自《数学分析入门》习题 15.6 题目 11-15。

整理随机变量方差的计算与线性变换性质，给出切比雪夫不等式及零方差的刻画。

概率论中关于「随机现象和随机事件」的课程笔记。

这部分内容详见数学分析-多元函数极限- 中的点集, 将复平面对应到 , 并用复数的模长代表距离。

数理统计中关于「特征函数」的课程笔记。

介绍集合的特征函数与狄利克雷函数，记录二者的定义和基本表示。

介绍条件概率及乘法定理，并推导全概率公式与贝叶斯公式。

介绍统计量与抽样分布，重点整理样本均值的期望、方差、特征函数和常见总体下的分布。

设 为取自某个总体的样, 则它关于样本均值 的平均偏差平方和 称为样本方差. 其算数根 为样本标准差。

辨析连通与邻接，证明闭合迹的环分解，并讨论欧拉图、排列图和含环条件。

画出二进制 de Bruijn 图，构造正则竞赛图，并证明强连通、拓扑排序和有向欧拉图的判据。

图论与组合的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

令 是一个图 a 证明: 是一棵树当且仅当 是连通的且每条边都是割边 b 证明: 是一棵树当且仅当添加任一条以 中的顶点为端点的边恰好生成一个环。

首先连续的三条边至少有一条在极大匹配中, 不然一定可以将中间那条边加入到匹配中构成更大的一个匹配。

整理边连通度、Menger 定理、二分图匹配与点覆盖、最大流最小割等第 4 次作业。

在圆周上放置 个点, 其中 . 令 为将每个点与两个方向上与它最近的 个点相连得到的 -正则图. 例如, , 如下图所示. 证明: 当 能被 整除时, ；当 不能被 整除时, . 证明 时有 , 由此证明上面结论中 的下界不能被削弱。

平面上(或空间中)的一个变换 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry)。

介绍 Lebesgue 外侧度、L-覆盖及其基本性质，并结合例题说明外侧度的计算与估计。

如果 还是满射, 则称两个度量空间 , 等距同构。

未知. 写出一个完备统计量{{2cm}}, 一个枢轴量{{2cm}}。

常微分方程中关于「微分方程组」的主题笔记。

偏微分方程中关于「位势」的课程笔记。

介绍截断误差、舍入误差、绝对与相对误差，以及规格化浮点数的表示和误差界。

代数结构: 有代数运算的定义 加法和数乘关于拓扑连续, 则构成拓扑向量空间 加法和数乘关于度量连续, 则构成线性度量空间 加法和数乘关于范数连续, 则构成线性赋范空间。

无度约束的最小生成树（MST）可在多项式时间内求解{cormen2009introduction}： Kruskal：边按权升序，能连通且不成环则加入，复杂度 {kruskal1956shortest}； Prim：从任一顶点出发，每次取跨割最小边，二叉堆实现为 {prim1957shortest}。

信息论课程入口；公开章节尚在核对与整理。

半线性: 最高阶导数项的系数与未知函数及其导数无关。

汇总环、幺环、可逆元、零因子、域与群等抽象代数入门定义。

介绍循环群、生成元与元素的阶，并整理有限循环群的判别和典型习题。

整理压缩映射、连续性与 Banach 不动点定理，并配套积分方程练习。

偏微分方程复习题与证明提纲，涵盖变分、波动方程、热方程和位势问题。

若 , 则对任给的 , 存在 , 使得当 中子集 的测度 时, 有。

[leftmargin=1.5cm] (1) 线性齐次方程: 形如 . 考虑积分因子。

逐点求解 考虑曲线 $l:{cases} {{d} x}{{d} t}=a(x)\\ x(0)=c0 {cases}(x0,t0)c0=g(x0,t0)$。

${cases} u= u{tt}-a^2u{xx}=f(x,t)& {R}(0,)\\ u(x,0)=(x), & x{R}\\ ut(x,0)=(x),& x{R} {cases}$ 做因式分解。

证明: Hilbert 空间是一致凸的. (提示: 利用平行四边形公式) 是 空间, 则 是一致凸的当且仅当 只要 , , 就有。

给出切比雪夫不等式的一般形式，并由二次函数情形得到基于方差的概率上界。

本文给出一个多项式时间的构造算法，并在后续证明其在可行域内的词典序最优性。

整理像集与原像集、特征函数、Cantor–Bernstein 定理及基数的基本性质。

加权图 (weighted graph): 边有边权。

由 连续, 可得 以 为例, 根据全变差的定义, 存在 的一个分划 慢则 并且有 据此我们可以推出。

泛函分析中关于「有界线性算子对偶空间」的课程笔记。

从线性相关、基与维数出发，整理有限维赋范空间、同构和 Riesz 引理。

有限 Abel 群与有限生成 Abel 群的结构笔记尚未展开，目前仅保留定理开头。

介绍单扩张、子域与由元素集合生成的子域等域扩张基本概念。

运筹学的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

使用单纯形法来求解如下优化问题： 要求： 将其转化为标准形式，列出单纯形表手算作答。

建立旅行商问题的整数规划模型，并用 0-1 变量和 Big-M 约束求解带前序关系的双工作站调度。

某企业的生产函数 , 它表示在资本投入和劳动投入分别为 和 时, 某种产品的产出量为 . 若产品价格为 , 要素投入价格分别为 , 试求该企业得到最大利润时要素投入水平。

三阶段试制问题的随机动态规划解答，给出状态、转移概率、Bellman 递推与最优批量；原始题面尚待补录。

则利润为 $(q,x)={cases} 600x-100q, & q x\\ 300x+200q, & q x {cases}$。

系统整理整环中的整除、不可约元与素元、最大公因子，以及欧几里得整环、主理想整环、唯一因子分解整环和诺特环。

证明正测度可测集在某个矩体中具有正的相对密度。

整理 Jordan 测度、闭矩形与有界集上的重积分、Fubini 定理及变量替换。

介绍子群判定、左右陪集与指数，推导 Lagrange 定理及循环群结论，并附 Euler 定理、Fermat 小定理和练习。

区分总体分布、随机样本与观测值，说明独立同分布样本的空间、联合分布和密度。

整理严格凸空间中的最佳逼近元及其存在唯一性，并讨论有限维子空间上的逼近问题。

整理 Arzelà–Ascoli 定理，以及一致有界、等度连续与列紧性的关系。

图论与组合中关于「Algo」的课程笔记。

分割集 (separating set)/ 点割 (vertex cut): 点集 , 满足 的不连通或只有一个顶点。

系统整理傅里叶级数的定义与收敛、局部化原理和费耶尔定理，并讨论贝塞尔不等式与帕塞瓦尔恒等式。

整理次线性泛函、Zorn 引理与 Hahn–Banach 定理的实、复及保范延拓形式。

称两条 -path 内部不相交, 当且仅当除了端点外没有公共点。

匹配 (matching): 一个没有自环, 任意两边没有公共端点的图。

k-因子 (k-factor): k-正则的导出子图。

整理 n 元对称群中的轮换分解、置换奇偶性、交错群和生成元，并附共轭与生成练习。

设群 的阶 , 其中 为素数, , 则对 , 中必有 阶子群, 其中 阶子群(即 的最高方幂阶子群)称为 的 Sylow -子群。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

反证法、归纳法、构造法 估计与不等式技巧 紧性、完备性、收敛性常见套路。

集合、逻辑、关系 分析与线代常用符号 竞赛高频符号。

介绍度量空间、距离函数及其基本性质，并结合典型问题整理度量的验证方法。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

泛函分析（徐小绪）的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

整理度量空间中的稠密集、疏集、第一纲集、第二纲集与 Baire 纲定理。

泛函分析（徐小绪）定义与主要定理的复习索引，并链接到完整课程章节。

证明 ((1)) 是 中的列紧集 ((2)) 是 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理)。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

汇总自反空间、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 类等期末练习。

的左垂直 是 的闭子空间; 的右垂直 是 的闭子空间。

从拓扑向量空间出发，整理范数、Banach 空间、Lp 空间、商空间及等价范数练习。

整理第二共轭空间的自然嵌入、自反空间、共轭算子的性质与练习。

从开覆盖定义出发，整理紧集的闭性、有限交性质和连续像等基本结论。

梳理列紧、完全有界、有限网与可分性的关系，并附相关证明和练习。

整理内积与 Hilbert 空间的基本结构、常用不等式、极化恒等式和同构。

介绍商空间的等价类、线性运算、商范数、完备性与自然同态。

如果 还是满射, 则称两个度量空间 , 等距同构。

整理压缩映射、连续性与 Banach 不动点定理，并配套积分方程练习。

证明: Hilbert 空间是一致凸的. (提示: 利用平行四边形公式)。

泛函分析（徐小绪）中关于「有界线性算子对偶空间」的课程笔记。

从线性相关、基与维数出发，整理有限维赋范空间、同构和 Riesz 引理。

整理严格凸空间中的最佳逼近元及其存在唯一性，并讨论有限维子空间上的逼近问题。

整理 Arzelà–Ascoli 定理，以及一致有界、等度连续与列紧性的关系。

整理次线性泛函、Zorn 引理与 Hahn–Banach 定理的实、复及保范延拓形式。

常见环境（定理、证明、对齐） 公式排版建议 作业/讲义模板。

常用语法速查 数学公式与代码块写法 目录与锚点管理。

行内与行间公式规范 宏定义建议 常见渲染问题排查。

运筹学（刘嘉）课程入口；公开章节尚在核对与整理。

整理 Newton 迭代、压缩映射、不动点与积分方程等作业题，并附 MWorks 数值实验。