偏微分方程：考试 / 23强基期中

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23 级强基期中 #

时间: 2025.11.7

任课老师: 高正焕

题目 #

(15’) 设

$$J(v)=\int_\Omega |Dv|^2\,dx$$

其中 $\Omega\subset\mathbb R^2$, 设 $M_\varphi=\{v\in C^1(\Omega): v|_{\partial\Omega}=\varphi\}$, $\varphi$ 是 $\partial\Omega$ 上的函数.

证明当 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 时, 变分问题

$$J(u)=\min_{v\in M_\varphi}J(v)$$

等价于以下边值问题:

求 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline\Omega)$ 使得

\begin{cases} \Delta u = 0,\quad x\in\Omega,\

4pt] u=\varphi,\quad x\in\partial\Omega. \end{cases}

## 题目 (20') 考虑波动方程的 Cauchy 问题 \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=f(x,t),\qquad \mathbb R\times (0,+\infty),\

3pt] u(x,0)=\varphi(x),
u_t(x,0)=\psi(x),\qquad -\infty<x<+\infty. \end{cases}

$$$$

1. 设四条特征线围成平行四边形 $ABCD$ 在上半平面, 设 $u$ 是 $f=0$ 时的解, 证明

$$u(A)+u(C)=u(B)+u(D).$$

2. 设 $f(x,t)=x-t$, $\varphi(x)=x^2$, $\psi(x)=0$, 求解该问题.

题目 #

(10’) 叙述一维波动方程混合问题广义解的定义.

题目 #

(15’) 证明以下 Sturm-Liouville 问题不同特征值对应的特征函数正交:

$$$$

\begin{cases} X”+\lambda X=0,\quad 0<x<l,\

2pt] X(0)=X(l)=0. \end{cases} ## 题目 (40') 考虑混合问题 \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=f(x,t),\qquad (0,\pi)\times (0,+\infty),\

3pt] u(0,t)=u(\pi,t)=0,\qquad t\geqslant 0,\

3pt] u(x,0)=\sin x,\qquad 0\leqslant x\leqslant\pi,\

3pt] u_t(x,0)=0,\qquad 0\leqslant x\leqslant\pi. \end{cases}

$$$$

• (10’) $f=0$ 时, 求 $E(1)$, 其中

$$E(\tau)=\frac12\int_0^\pi (u_t^2(x,\tau)+u_x^2(x,\tau))\,dx.$$

• (15’) 假设 $0<t<T$, 证明存在只和 $T$ 有关的常数 $M$, 使得

$$\int_{[0,\pi]\times[0,\tau]} (u_t^2+u_x^2)\text{d} x \text{d} t \leqslant M\left( \int_{[0,\pi]\times[0,\tau]} f^2(x,t)\text{d} x\text{d} t + 1\right)$$

• (15’) $f(x,t)=\sin x\sin \omega t$ 时, 求解该方程, 并证明当 $\omega=\pm1$ 时, $u$ 在 $(0,\pi)\times(0,+\infty)$ 上无界。