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复变函数 / 习题/考试 / 作业 / 2

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第二章 #

习题 2.1 #

  1. 证明: 函数 ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^{x+\text{i} y}=e^x(\cos y+\text{i}\sin y) 是以 2πi2\pi\text{i} 为周期的函数.
note

ex+iy+2πi=ex+i(y+2π)=ex(cos⁡(y+2π)+isin⁡(y+2π))=ex(cos⁡yisin⁡y)=ex+iye^{x+\text{i} y+2\pi\text{i}}=e^{x+\text{i}(y+2\pi)}=e^x(\cos (y+2\pi)+\text{i}\sin(y+2\pi))=e^x(\cos y\text{i}\sin y)=e^{x+\text{i} y}. 所以其是以 2πi2\pi\text{i} 为周期的函数.

  1. 证明: 指数函数 w=ezw=e^z 有以下性质:
ez1+z2=ez1ez2,∀z1,z2∈C.e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2},\quad \forall z_1,z_2\in\mathbb{C}.
note
ez1ez2=ex1(cos⁡y1+isin⁡y1)ex2(cos⁡y2+isin⁡y2)=ex1+x2(cos⁡y1cos⁡y2−sin⁡y1sin⁡y2+i(cos⁡y1sin⁡y2+sin⁡y1cos⁡y2))=ex1+x2(cos⁡(y1+y2)+isin⁡(y1+y2))=ez1+z2.\begin{aligned} e^{z_1}e^{z_2}&=e^{x_1}(\cos y_1+\text{i}\sin y_1)e^{x_2}(\cos y_2+\text{i}\sin y_2) \\ &=e^{x_1+x_2}(\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2+\text{i}(\cos y_1\sin y_2+\sin y_1\cos y_2)) \\ &=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+\text{i}\sin(y_1+y_2))\\ &=e^{z_1+z_2}. \end{aligned}

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