课程总纲 · 10 个单元 · 73 个知识点
高等代数
从多项式、行列式和线性方程组出发，学习矩阵、线性空间与线性变换，再进入内积及双线性结构。
章节与知识点
按北京大学《高等代数》第五版十章七十三节组织，保留教材选学标记；贾惠莲讲义按其原章号对照，配以相关笔记与习题。
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多项式
已有部分内容整除、最大公因式、因式分解与重因式。
北京大学《高等代数》第五版第 1 章。
- §1 数域
教材第 1 章 §1，p.1。先确定系数所属数域，辨认四则运算的封闭性。
- §2 一元多项式
教材第 1 章 §2，p.2。从形式表达式、次数与运算开始，区分多项式和它给出的函数。
- §3 整除的概念
教材第 1 章 §3，p.5。用带余除法组织整除、余式及其唯一性的推理。
- §4 最大公因式
教材第 1 章 §4，p.8。通过辗转相除求最大公因式，联系互素与线性组合表示。
- §5 因式分解定理
教材第 1 章 §5，p.12。以不可约多项式为基本因子，理解分解的存在性和唯一性。
- §6 重因式
教材第 1 章 §6，p.15。利用形式导数判断重因式，并追踪因子的重数。
- §7 多项式函数
教材第 1 章 §7，p.16。把代入取值与根联系起来，理解根的个数对多项式的约束。
教材第 1 章 §8，p.18。比较复数域和实数域上的因子形式。补充链接为复变函数笔记中的共轭根例题，只覆盖本节的一部分。
- §9 有理系数多项式
教材第 1 章 §9，p.19。从整系数多项式出发，考察有理根与不可约性判别。
- §10 多元多项式（选学）
教材第 1 章 §10，p.22。目录标星选学。引入多个不定元，按单项式的次数与次序组织运算。
- §11 对称多项式（选学）
教材第 1 章 §11，p.26。目录标星选学。从变量置换的不变性出发，讨论初等对称多项式的表达作用。
- 教师讲义贾惠莲：第七章 多项式
讲义封面与第一周课外作业已核对；对应教材第一章。
- 教材习题第 1 章习题与补充题
第五版第 1 章，习题起于 p.29，补充题起于 p.30；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 讲义对照教师第七章与教材第一章的节号对照
大一下/ppt/第七章多项式.pdf：教师 §7.1、§7.2、§7.3、§7.4 分别对应教材 §2、§3、§4、§5；教师 §7.5 合讲教材 §7 多项式函数与 §6 重因式；教师 §7.6、§7.7 对应教材 §8、§9。相应 PDF 起页为 5、15、18、24、28、30、33；教材数域及选学 §10-11 不据此虚设教师节号。
- 本地作业第一周作业：整除、余式与互素
大一下/作业/第一周作业题目.pdf，PDF 第 1 页：A 组第 1、3、6、7、9 题对应教材第一章 §3；第 8、10 题与 B 组第 1 题对应 §4；B 组第 2 题涉及 §6 重因式。只定位已核实题目，尚无公开链接。
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行列式
章节框架排列、展开与行列式的性质。
北京大学《高等代数》第五版第 2 章。
- §1 引言
教材第 2 章 §1，p.33。从低阶方程组的求解观察行列式表达式出现的原因。
- §2 排列
教材第 2 章 §2，p.34。用逆序数确定排列的奇偶性，为一般展开式确定符号。
- §3 n 阶行列式
教材第 2 章 §3，p.36。把排列与乘积求和结合，理解任意阶行列式的定义。
- §4 n 阶行列式的性质
教材第 2 章 §4，p.40。考察交换、数乘和倍加行列操作怎样改变行列式。
- §5 行列式的计算
教材第 2 章 §5，p.45。利用性质化简矩阵结构，再选择适合的计算次序。
- §6 行列式按一行（列）展开
教材第 2 章 §6，p.49。通过余子式与代数余子式把高阶计算降到低阶。
- §7 克拉默（Cramer）法则
教材第 2 章 §7，p.55。在系数行列式非零的条件下，用行列式写出方程组的唯一解。
- §8 拉普拉斯（Laplace）定理·行列式的乘法规则（选学）
教材第 2 章 §8，p.59。目录标星选学。把按一行展开推广到多行，并联系矩阵乘积的行列式。
- 教材习题第 2 章习题与补充题
第五版第 2 章，习题起于 p.64，补充题起于 p.68；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
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线性方程组
章节框架消元、线性相关、秩与解的结构。
北京大学《高等代数》第五版第 3 章。
- §1 消元法
教材第 3 章 §1，p.70。用初等变换化为阶梯形，识别主元、自由未知量和矛盾行。
- §2 n 维向量空间
教材第 3 章 §2，p.75。将有序数组作为向量，建立加法、数乘与线性组合的语言。
- §3 线性相关性
教材第 3 章 §3，p.78。用线性关系区分相关与无关，理解极大无关组的作用。
- §4 矩阵的秩
教材第 3 章 §4，p.84。联系向量组、子式和初等变换，说明矩阵秩的不同判定方式。
- §5 线性方程组有解判别定理
教材第 3 章 §5，p.92。比较系数矩阵与增广矩阵的秩，判定解的存在性。
- §6 线性方程组解的结构
教材第 3 章 §6，p.94。从基础解系描述齐次通解，再由一个特解得到非齐次通解。
- §7 二元高次方程组（选学）
教材第 3 章 §7，p.99。目录标星选学。考察二元多项式方程的消元思路，区分它与线性消元的条件。
- 教材习题第 3 章习题与补充题
第五版第 3 章，习题起于 p.103，补充题起于 p.106；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
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矩阵
章节框架矩阵运算、逆、分块与初等变换。
北京大学《高等代数》第五版第 4 章。
- §1 矩阵概念的一些背景
教材第 4 章 §1，p.108。从线性方程和变换的系数组织方式理解矩阵记号。
- §2 矩阵的运算
教材第 4 章 §2，p.110。检查矩阵运算的维数条件，注意乘法次序及非交换性。
- §3 矩阵乘积的行列式与秩
教材第 4 章 §3，p.117。联系乘法、行列式和秩，区分等式与秩的不等式条件。
- §4 矩阵的逆
教材第 4 章 §4，p.118。从乘法单位元定义可逆性，并联系解方程与求逆方法。
- §5 矩阵的分块
教材第 4 章 §5，p.121。按相容尺寸划分矩阵，把大矩阵运算转成块运算。
- §6 初等矩阵
教材第 4 章 §6，p.125。将初等行列变换写为矩阵乘法，连接等价变换与可逆性。
- §7 分块乘法的初等变换及应用举例
教材第 4 章 §7，p.129。在分块层面进行初等变换，并核查左右乘法对应的操作。
- 教材习题第 4 章习题与补充题
第五版第 4 章，习题起于 p.132，补充题起于 p.136；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
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二次型
章节框架标准形、惯性与正定性。
北京大学《高等代数》第五版第 5 章。
- §1 二次型及其矩阵表示
教材第 5 章 §1，p.138。用对称矩阵表示二次齐次式，联系变量代换与合同变换。
- §2 标准形
教材第 5 章 §2，p.141。通过可逆线性代换消去交叉项，比较配方法与矩阵方法。
- §3 唯一性
教材第 5 章 §3，p.148。区分不同系数域的分类结果，理解实二次型的惯性指标。
- §4 正定二次型
教材第 5 章 §4，p.152。从取值符号研究正定性，并联系顺序主子式判别。
- 教材习题第 5 章习题与补充题
第五版第 5 章，习题起于 p.157，补充题起于 p.158；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 教师讲义贾惠莲：第六章 二次型与二次曲面
大一上/第六章--二次型与二次曲面.pdf：教师 §6.1（PDF 第 3-18 页）对应教材第五章 §1-2；§6.2（第 19-23 页）对应 §3；§6.3（第 24-32 页）对应 §4。教师 §6.4 二次曲面为另外的几何内容，不补作教材第五章的一节。
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线性空间
已有部分内容基、维数、子空间与坐标变换。
北京大学《高等代数》第五版第 6 章。
- §1 集合·映射
教材第 6 章 §1，p.160。整理映射、复合和双射，为线性空间及同构建立语言。
- §2 线性空间的定义与简单性质
教材第 6 章 §2，p.163。在抽象集合上核对加法和数乘公理，并推出零元与负元的性质。
- §3 维数·基与坐标
教材第 6 章 §3，p.166。由基给出向量的唯一坐标，联系线性无关、生成与维数。
- §4 基变换与坐标变换
教材第 6 章 §4，p.170。用过渡矩阵联系两组基，分清基向量和坐标的变换方向。
- §5 线性子空间
教材第 6 章 §5，p.172。用运算封闭性判定子空间，并用生成集描述它。
- §6 子空间的交与和
教材第 6 章 §6，p.174。区别集合并与子空间和，通过公共部分理解维数公式。
- §7 子空间的直和
教材第 6 章 §7，p.177。用分解唯一性刻画直和，并联系基的拼接。
- §8 线性空间的同构
教材第 6 章 §8，p.179。用保持线性运算的双射比较空间，理解坐标同构。
- 教师讲义贾惠莲：第八章 线性空间
讲义第 1—2 页；对应教材第六章，讲义还列出商空间。
- 教材习题第 6 章习题与补充题
第五版第 6 章，习题起于 p.181，补充题起于 p.184；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 讲义对照教师第八章与教材第六章的节号对照
大一下/ppt/第八章线性空间.pdf：§1、§2、合讲 §3-4、§5、§6、§8 的 PDF 起页为 3、6、23、33、38、53，按集合映射、定义、基与坐标、子空间、交与和、同构对应教材同名节；直和内容在 PDF 第 45-52 页。PDF 第 60-67 页为教师补充主题“商空间”。
- 本地作业第六周作业：线性空间的基
大一下/作业/高代第六周作业.pdf，PDF 第 1 页：第 1 题核对数域、空间与基；第 2 题求过渡矩阵和坐标；第 3-5 题讨论基与唯一表示；第 6 题讨论直积空间。主要对应教材第六章 §2-4，尚无公开链接。
- 个人笔记·跨课程补充商空间（泛函分析笔记）
对应贾惠莲第八章 PDF 第 60-67 页的商空间补充：已核对站内笔记开头的等价类、加法和数乘。后续商范数与完备性属于泛函分析，不列作北大教材第六章的原有节。
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线性变换
章节框架矩阵表示、特征值、不变子空间与最小多项式。
北京大学《高等代数》第五版第 7 章。
- §1 线性变换的定义
教材第 7 章 §1，p.185。核对加法与数乘的保持性，用例子区分线性变换和一般映射。
- §2 线性变换的运算
教材第 7 章 §2，p.187。研究变换的加法、数乘、复合以及变换的多项式。
- §3 线性变换的矩阵
教材第 7 章 §3，p.190。在指定基下建立矩阵表示，并通过换基理解相似关系。
- §4 特征值与特征向量
教材第 7 章 §4，p.196。由特征方程找到保持方向的向量，比较特征子空间与重数。
- §5 对角矩阵
教材第 7 章 §5，p.203。考察是否存在特征向量基，从而判定矩阵能否相似对角化。
- §6 线性变换的值域与核
教材第 7 章 §6，p.207。把像与核作为子空间，联系维数、单射与满射。
- §7 不变子空间
教材第 7 章 §7，p.209。研究变换限制与空间分解怎样简化矩阵表示。
- §8 若尔当（Jordan）标准形介绍
教材第 7 章 §8，p.213。认识 Jordan 块与广义特征向量，区分标准形介绍和后续理论推导。
- §9 最小多项式（选学）
教材第 7 章 §9，p.216。目录标星选学。用次数最低的首一零化多项式描述变换，联系相似不变量。
- 教师讲义贾惠莲：第九章 线性变换
讲义第 1—2 页；对应教材第七章，并涉及 Jordan 标准形。
- 教材习题第 7 章习题与补充题
第五版第 7 章，习题起于 p.219，补充题起于 p.223；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 讲义对照教师第九章与教材第七章的主题对照
大一下/ppt/第九章线性变换PPT.pdf：教师 §1、§2、§3 分别对应教材 §1-3（PDF 起页 3、11、14）；教师 §4 涵盖教材 §4-5（第 23-36 页）；教师 §5 值域与核对应教材 §6（第 37 页起）；教师 §6 不变子空间对应教材 §7（第 44 页起）；Jordan 标准形与最小多项式见第 52-68 页，对应教材 §8-9。
- 教师讲义贾惠莲：第五章 方阵的特征值与特征向量
大一上/第五章--方阵的特征值与特征向量.pdf：教师第五章为矩阵视角，与教材第五章二次型不同；特征值内容见 PDF 第 1-18 页，§5.2 矩阵的对角化见第 19-26 页，对应教材第七章 §4-5；§5.3 实对称矩阵的对角化见第 27-34 页，还对应教材第九章 §6。
- 本地作业第十一周课外作业（2024 版）：Jordan 形与循环子空间
大一下/作业/高代第十一周课外作业.pdf，PDF 第 1 页 A 组：第 1、3 题讨论 Jordan 标准形，第 4 题为循环子空间及其基，第 5 题讨论不变子空间与特征子空间分解；对应教材第七章 §7-8，亦为第八章 §6 的练习补充。只定位题目，尚无公开解答。
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λ-矩阵
章节框架不变因子、初等因子与相似标准形。
北京大学《高等代数》第五版第 8 章。
- §1 λ-矩阵（选学）
教材第 8 章 §1，p.224。本章在目录中整体标星选学。把矩阵的元素推广为多项式，明确可进行的初等变换。
- §2 λ-矩阵在初等变换下的标准形（选学）
教材第 8 章 §2，p.225。本章在目录中整体标星选学。通过等价变换得到对角标准形，注意多项式环中的可逆性。
- §3 不变因子（选学）
教材第 8 章 §3，p.228。本章在目录中整体标星选学。由行列式因子确定不变因子，追踪各因子之间的整除关系。
- §4 矩阵相似的条件（选学）
教材第 8 章 §4，p.231。本章在目录中整体标星选学。用特征矩阵的等价关系把相似分类转化为不变量比较。
- §5 初等因子（选学）
教材第 8 章 §5，p.233。本章在目录中整体标星选学。将不变因子分解为不可约因子的幂，建立另一组分类数据。
- §6 若尔当标准形的理论推导（选学）
教材第 8 章 §6，p.236。本章在目录中整体标星选学。从初等因子解释 Jordan 块的大小和标准形的确定方式。
- §7 矩阵的有理标准形（选学）
教材第 8 章 §7，p.240。本章在目录中整体标星选学。用友矩阵与不变因子描述原数域上的相似标准形。
- 教材习题第 8 章习题与补充题
第五版第 8 章，习题起于 p.242，补充题起于 p.244；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 教师材料对照第九章线性变换中的 Jordan 形补充
贾惠莲《第九章线性变换PPT.pdf》PDF 第 52-62 页讨论 Jordan 标准形与计算，对应教材第八章 §6 的主题。
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欧几里得空间
已有部分内容内积、正交、距离与最小二乘。
北京大学《高等代数》第五版第 9 章。
- §1 定义与基本性质
教材第 9 章 §1，p.245。从内积得到长度、夹角与 Cauchy-Schwarz 不等式，联系内积与度量矩阵。
- §2 标准正交基
教材第 9 章 §2，p.249。用正交化构造标准正交基，并联系过渡矩阵的正交性。
- §3 同构
教材第 9 章 §3，p.253。在线性同构之外要求保持内积，比较欧氏空间的度量结构。
- §4 正交变换
教材第 9 章 §4，p.254。研究保持内积的变换及其在标准正交基下的矩阵。
- §5 子空间
教材第 9 章 §5，p.256。通过正交补分解空间，联系正交投影与子空间的几何关系。
- §6 实对称矩阵的标准形
教材第 9 章 §6，p.257。由实特征值与正交特征向量基得到正交对角化。
教材第 9 章 §7，p.263。将最短距离转成正交投影与正规方程。补充练习来自泛函分析作业第 1.6.14 题：二次多项式的最佳平方逼近。
- §8 酉空间介绍（选学）
教材第 9 章 §8，p.266。目录标星选学。在复数域上改用共轭对称内积，认识酉矩阵与酉变换。
- 教材习题第 9 章习题与补充题
第五版第 9 章，习题起于 p.268，补充题起于 p.270；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 教师讲义贾惠莲：第十章 欧氏空间
大一下/ppt/第十章欧氏空间.pdf：教师第十章对应教材第九章。PDF 第 6-12、13-19、20、21-28、29-31 页分别对应教材 §1-5；第 32 页及教师第五章 §5.3 对应 §6；第 33-34 页对应 §7；第 35-43 页对应 §8。第 44-48 页的伴随与正规变换另属讲义拓展。
- 本地作业第十二周作业：欧氏空间基本概念解析
大一下/作业/高代第十二周作业.pdf，PDF 第 1 页：第 2 题极化恒等式、第 3 题正交条件与特征向量、第 4 题子空间中的正交向量，分别关联教材第九章 §1、§4、§5。
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双线性函数与辛空间
已有部分内容对偶空间、双线性函数与辛空间。
北京大学《高等代数》第五版第 10 章。
- §1 线性函数
教材第 10 章 §1，p.272。把取值于数域的线性映射作为研究对象，从基上的取值确定函数。
教材第 10 章 §2，p.273。构造对偶基并研究换基关系。补充链接第 2.4.7 题在有限维张成空间上构造坐标泛函，后续延拓属于泛函分析。
- §3 双线性函数
教材第 10 章 §3，p.276。用度量矩阵表达双线性函数，比较合同变换、退化性及对称性。
- §4 辛空间（选学）
教材第 10 章 §4，p.282。目录标星选学。从非退化反对称双线性函数出发，研究辛基与偶数维结构。
- 教材习题第 10 章习题
第五版第 10 章，习题起于 p.286；仅作题目位置索引，未录入题目正文或解答。
- 教师讲义贾惠莲：双线性函数与辛空间（初稿）
大一下/ppt/第十一章双线性函数(初稿).pdf：第十一章来自文件名，封面只列题名与作者；对应教材第十章。PDF 第 3-5 页为线性函数，第 6-14 页为对偶空间，第 15-22 页为双线性函数，第 23 页为正交空间与辛空间定义；第 2 页注明参考陈日祥博客教案。