偏微分方程：热方程 / 极值原理

tip

设 $u\in C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{Q})$ 且满足 $Lu=f\leqslant 0$ , 则 $u$ 在 $\overline{Q}$ 上的最大值必在 $Q$ 的抛物边界 $\Gamma$ 上达到, 即

\max\limits_{\overline{Q}} u(x,t)=\max\limits_{\Gamma}u(x,t)

note

设 $f<0$ , 用反证法容易得到矛盾.

对 $f\leqslant 0$ , 取 $v(x,t)=u(x,t)-\varepsilon t$ , 则 $Lv=Lu-\varepsilon=f(x,t)-\varepsilon<0$ , 于是

\max\limits_{\overline{Q}}u(x,t)=\max\limits_{\overline{Q}}(v(x,t)+\varepsilon t)\leqslant \max\limits_{\overline{Q}} v(x,t)+\varepsilon T

tip

若 $Lu=f\geqslant 0$ , 则最小值在边界取到

\min\limits_{\overline{Q}}u=\min\limits_{\Gamma}u

tip

设 $u,v\in C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{Q})$ , 且有 $Lu\leqslant Lv$ , $u\big|_\Gamma\leqslant v\big|_\Gamma$ , 则在 $\overline{Q}$ 上 $u(x,t)\leqslant v(x,t)$ .

question

考虑第一边值问题

\begin{equation} \begin{cases} Lu=u_t-a^2u_{xx}=f, & (x,t\in Q)\\ u\big|_{t=0}=\varphi(x), & (0\leqslant x\leqslant l)\\ u\big|_{x=0}=g_1(t), u\big|_{x=l}=g_2(t), & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases} \end{equation}

tip

设 $u(x,t)\in C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{Q})$ 是问题 \eqref{热方程第一边值最大模} 的解, 则

\max\limits_{\overline{Q}}|u|\leqslant FT+B,

其中

\begin{aligned} F=\sup\limits_{Q}|f|\\ B=\max\left\lbrace\sup\limits_{[0,l]}|\varphi|, \sup\limits_{[0,T]}|g_1|,\sup\limits_{[0,T]}|g_2|\right\rbrace \end{aligned}

note

考虑辅助函数 $w(x,t)=Ft+B\pm u(x,t)$ , 则有 $Lw=F\pm f\geqslant 0$ .

且在边界上 $w\big|_\Gamma\geqslant B+\pm u\geqslant 0$ . 由弱极值原理, 在 $Q$ 上 $w(x,t)\geqslant 0$ .

tip

问题 \eqref{热方程第一边值最大模} 在 $C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{Q})$ 中的解是唯一的.

tip

问题 \eqref{热方程第一边值最大模} 在 $C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{Q})$ 中的解连续依赖于非齐次项 $f$ , 初值 $\varphi$ 与边值 $g_1,g_2$ .

question

第二, 三边值问题可以统一写成

\begin{equation} \begin{cases} Lu=u_t-a^2u_{xx}=f, & (x,t\in Q)\\ u\big|_{t=0}=\varphi(x), & (0\leqslant x\leqslant l)\\ \left[-\frac{\partial u}{\partial x}+\alpha(t)u\right]_{x=0}=g_1(t), & 0\leqslant t\leqslant T \\ \left[\frac{\partial u}{\partial x}+\beta(t)u\right]_{x=0}=g_2(t), & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases} \end{equation}

其中 $\alpha(t),\beta(t)\geqslant 0$ , 当 $\alpha(t)\equiv\beta(t)\equiv 0$ 时就是第二边值问题.

tip

设 $u(x,t)\in C^{2,1}(Q)\cap C^{1,0}(\overline{ Q})$ 满足

\begin{cases} Lu=u_t-a^2u_{xx}\geqslant 0 & (x,t)\in Q\\ u\big|_{t=0}\geqslant 0, & 0\leqslant x\leqslant l\\ \left[-\frac{\partial u}{\partial x}+\alpha(t) u\right]_{x=0}\geqslant 0, & 0\leqslant t\leqslant T\\ \left[\frac{\partial u}{\partial x}+\beta(t)u\right]_{x=l}\geqslant 0, & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

则在 $\overline{Q}$ 上 $u(x,t)\geqslant 0$ .

note

类似弱极值原理证明, 先设后两个条件是大于. 证明没有负的最小值.

由弱极值原理, 最小值必在边界取得, 设 $P_0$ 是负的最小值, 那么由

-\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{P_0}\leqslant 0, \alpha(t)u(P_0)\leqslant 0

从而与假设矛盾. 故没有负的最小值.

再取辅助函数

v(x,t)=u(x,t)+\varepsilon\left[2a^2t+\left(x-\frac l2\right)^2\right]

从而 $v(x,t)\geqslant 0$ , 故 $u(x,t)\geqslant-\varepsilon(2a^2T+l^2/4)$ 再由 $\varepsilon$ 的任意性得到结论.

tip

设 $u(x,t)\in C^{2,1}(Q)\cap C^{1,0}(\overline{Q})$ 是问题 \eqref{热方程第三边值最大模} 的解, 则

|u(x,t)|\leqslant C(F+B)

其中常数 $C$ 只依赖于 $a,l,T$ , 而

\begin{aligned} F=\sup\limits_{Q}|f|,\\ B=\max\left\lbrace\max\limits_{[0,T]}|g_1|,\max\limits_{[0,T]}|g_2|,\max\limits_{[0,l]}|\varphi|\right\rbrace \end{aligned}

note

考虑辅助函数

w(x,t)=Ft+Bz(x,t)\pm u(x,t)

, 其中

z(x,t)=1+\frac 1l\left[2a^2t+\left(x-\frac l2\right)^2\right]

则 $w(x,t)$ 满足引理条件, 从而

|u(x,t)|\leqslant FT+Bz(x,t)\leqslant FT+\left(1+\frac{2a^2T}{l}+\frac{l}{4}\right)B

取 $C=\max\left\lbrace T,1+\dfrac{2a^2T}{l}+\dfrac{l}{4}\right\rbrace$ , 即可.

question

在区域 $Q=\{(x,t):x\in\mathbb{R},0<t\leqslant T\}$ 上考虑初值问题

\begin{equation} \begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=f(x,t), & (x,t)\in Q\\ u(x,0)=\varphi (x), & x\in \mathbb{R} \end{cases} \end{equation}

tip

设 $u(x,t)\in C^{2,1}(Q)\cap C(\overline{ Q})$ 是初值问题 \eqref{热方程初值问题最大模} 的有界解, 则有估计

\sup\limits_{Q}|u(x,t)|\leqslant T\sup\limits_{Q}|f(x,t)|+\sup\limits_{(-\infty,\infty)}|\varphi(x)|

note

对任意 $L>0$ , 考虑区域 $Q_L=\{(x,t):|x|<L,0<t\leqslant T\}$ .

记 $F=\sup\limits_{Q}|f|, \phi=\sup\limits_{(-\infty,\infty)}|\varphi|.$ 设 $\sup\limits_{Q}|u|=K$ .

考虑辅助函数 $w(x,t)=Ft+\phi+v_L(x,t)\pm u(x,t)$ , 其中 $v_L(x,t)=\frac{K}{L^2}(x^2+2a^2t)$ .

容易验证边界值均非负, 故有极值原理知在 $Q_L$ 上 $w(x,t)\geqslant 0$ . 故对任意的 $(x_0,t_0)\in Q$ , 总存在 $L$ , 可得 $w(x_0,t_0)\geqslant 0$ . 从而

|u(x_0,t_0)|\leqslant Ft_0+\phi+\frac{K}{L^2}(x_0^2+2a^2t_0)

再令 $L\to \infty$ 则有

|u(x_0,t_0)|\leqslant Ft_0+\phi

于是定理得证.

question

记 $Q_T=\{(x,t):0<x<l,0<t\leqslant T\}$ , 在 $Q_T$ 上考虑混合问题

\begin{equation} \begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=f, & (x,t)\in Q_T\\ u(x,0)=\varphi(x), & 0\leqslant x\leqslant l,\\ u(0,t)=u(l,t)=0, & 0\leqslant t\leqslant T. \end{cases} \end{equation}

tip

设 $u\in C^{2,1}(Q_T)\cap C^{1,0}(\overline{Q_T})$ 是问题 \eqref{边值问题解的能量模估计} 的解, 则有估计

\sup\limits_{0\leqslant t\leqslant T}\int_0^l u^2(x,t)\text{d} x+2a^2\int_0^T\int_0^l \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\text{d} x\text{d} t\leqslant M\left(\int_0^l \varphi^2(x)\text{d} x+\int_0^T\int_0^l f^2(x,t)\text{d} x\text{d} t\right)

其中 $M$ 只与 $T$ 有关.

question

题目 #

设 $u\in C^{2,1}(\overline{Q}), u_t\in C^{2,1}(Q)$ 且满足以下定解问题

\begin{cases} u_t-u_{xx}=f(x,t), & (x,t)\in Q\\ u\big|_{t=0} =\varphi(x) & 0\leqslant x\leqslant l\\ u\big|_{x=0}=u\big|_{x=l}=0, & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

则有估计

\max\limits_{\overline{ Q}}|u_t(x,t)|\leqslant C[\Vert f \Vert_{C^1(\overline{Q})}]+\Vert \varphi'' \Vert_{C[0,1]}

其中 $C$ 仅依赖于 $T$ .

note

设 $v=u_t$ , 则 $v$ 满足

\begin{cases} v_t-v_{xx}=f_t(x,t), & (x,t)\in Q\\ v\big|_{t=0}=f(x,t)+u_{xx}\big|_{t=0}=f(x,0)+\varphi''(x) & 0\leqslant x\leqslant l\\ v\big|_{x=0}=v\big|_{x=l}=0, & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

从而由最大模原理知

\sup\limits_{\overline{Q}}|v(x,t)|\leqslant T\sup\limits_{Q}|f_t|+\sup\limits_{[0,l]}|\varepsilon '' (x)+f(x,0)|

再进行放缩 $\sup|f(x,0)|\leqslant\sup|f(x,t)|$ , 又 $\sup|f_t|+\sup|f|=\Vert f \Vert_{C^1}$ . 故取 $C=T+1$ 即可得到估计.

题目 #

设 $u\in C^{1,0}(\overline{Q})\cap C^{2,1}(Q)$ 且满足定解问题

\begin{cases} u_t-u_{xx}=0, & (x,t)\in Q\\ u\big|_{t=0} =\varphi(x) & 0\leqslant x\leqslant l\\ u\big|_{x=0}=u\big|_{x=l}=0, & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

证明

(1)

\max\limits_{(0,T)}\left|\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}\right|,\max\limits_{(0,T)}\left|\frac{\partial u(l,t)}{\partial x}\right|\leqslant C

其中 $C$ 仅依赖于 $\Vert \varphi \Vert_{C^1}$ .

(2) 又设 $u_x\in C^{2,1}(Q)$ 则

\max\limits_{\overline{Q}}\left|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right|\leqslant \widetilde{C}

其中 $\widetilde{C}$ 也仅依赖于 $\Vert \varphi \Vert_{C^1}$ .

note

(1) 考虑 $\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{u(x,t)-u(0,t)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{u(x,t)}{x}$ , 故只需证 $|u(x,t)|\leqslant Cx$ 即可.

则考虑辅助函数 $w(x,t)=Cx\pm u(x,t)$ , 使用弱极值原理, 边界非负需使用拉格朗日中值定理, 结合 $\varphi(0)=0$ , 得到 $Cx\pm \varphi(x)\geqslant 0$ . 从而 $w(x,t)\geqslant 0$ .

$x=l$ 则考虑 $w(x,t)=C(l-x)\pm u(x,t)$ .

(2) 设 $v=u_x$ , 则 $v_t-v_{xx}=f_x=0$ , $v(x,0)=\varphi'(x)$ . 则由第一边值问题的最大模估计

\max\limits_{\overline{Q}}\leqslant FT+B

其中 $F=\sup|f|=0, B=\sup|\varphi'(x)|\leqslant\Vert \varphi \Vert_{C^1}$ .

题目 #

设 $u,u_x\in C^{2,1}(Q)\cap C^{1,0}(\overline{Q})$ , $u$ 满足第三边值问题

\begin{cases} Lu=u_t-u_{xx}=f(x,t) & (x,t)\in Q\\ u|_{t=0}=\varphi(x), & 0\leqslant x\leqslant l\\ [-\frac{\partial u}{\partial x}+\alpha u]_{x=0}=g_1(t), & 0\leqslant t\leqslant T\\ [\frac{\partial u}{\partial x}+\beta u]_{x=l}=g_2(t), & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

其中 $\alpha,\beta\geqslant 0$ , 给出 $\max|\frac{\partial u}{\partial x}|$ 的估计.

note

设 $v=u_x$ , 首先由 $u$ 的第三边值问题可以给出估计

|u|\leqslant C(F+B)

, $F=\sup|f|, B=\max\{\sup|\varphi|,\sup|g_1|,\sup|g_2|\}$ , $C=\max\{T,1+\frac{2a^2T}{l}+\frac l4\}$ .

则考虑 $v$ 满足第一边值问题

\begin{cases} Lv=v_t-v_{xx}=f_x, & (x,t)\in Q\\ v(x,0)=\varphi'(x), & 0\leqslant x\leqslant l\\ v(0,t)=\alpha u(0,t)-g_1(t), & 0\leqslant t\leqslant T\\ v(l,t)=-\beta u(l,t)-g_2(t), & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

从而有估计

|v|\leqslant FT+B

其中 $F=\sup|f_x|, B=\max\{\sup|\varphi'|,\sup|u(0,t)-g_1(t)|,\sup|u(l,t)-g_2(t)|\}$ , 由 $u$ 的估计可得 $B$ 存在.

题目 #

记 $Q^l=\{0<x<l,0<t\leqslant T\}$ , 设 $u_l\in C^{2,1}(Q^l)\cap C(\overline{Q^l})$ 是定解问题

\begin{cases} Lu=u_t-u_{xx}=0, & (x,t)\in Q^l\\ u_l\big|_{t=0}=0, & 0\leqslant x\leqslant l\\ u_l(0,t)=g_1(t), u_l(l,t)=0, & 0\leqslant t\leqslant T \end{cases}

的解, 其中 $g_1(t)\geqslant0$ 证明: $l_1<l_2$ 时 $u_{l_1}(x,t)\leqslant u_{l_2}(x,t),\quad (x,t)\in Q^{l_1}$ .

note

先证明 $u_l$ 非负, 直接使用弱极值原理即可得到.

于是定义 $w(x,t)=u_{l_2}(x,t)-u_{l_1}(x,t)$ , 在 $Q^{l_1}$ 上.

那么再用一次弱极值原理, 对于 $w(x,t)$ 的边界 $w(0,t)=0, w(l_1,t)=u_{l_2}(l_1,t)\geqslant 0$ , 从而 $w(x,t)$ 非负. 证毕.

题目 #

设 $u$ 满足

Lu=u_t-a^2u_{xx}+c(x,t)u\leqslant 0

其中 $c(x,t)$ 有界, 且 $c(x,t)\geqslant 0$ . 证明如果 $u$ 在 $\overline{Q}$ 上存在非负最大值, 则必在边界上达到非负最大值.

note

按弱极值原理证明过程走一遍即可, 先考虑严格小于 0.

再考虑辅助函数 $v(x,t)=u(x,t)+\varepsilon e^{-Nt}$ , 变为严格小于 0. 其中 $N>|c(x,t)|$ , 由 $c(x,t)$ 有界, 保证存在这样的 N. {{< /admonition >}}

偏微分方程：热方程 / 极值原理

极值原理 #

弱极值原理 #

第一边值问题解的最大模估计 #

第二, 三边值问题解的最大模估计 #

初值问题的最大模估计 #

边值问题解的能量模估计 #

题目 #

题目 #

题目 #

题目 #

题目 #

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