复变函数：复平面拓扑 / 拓扑与完备性

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复平面上的拓扑与复数域的完备性 #

这部分内容详见数学分析-多元函数极限- $\mathbb{R}^n$ 中的点集, 将复平面对应到 $\mathbb{R}^2$ , 并用复数的模长代表距离.

definition

设 $C:z=z(t)=x(t)+y(t)\text{i}\ (a\leqslant t\leqslant b)$ 为一条连续曲线, 其中 $x(t),y(t)$ 是 $[a,b]$ 上的连续实函数. $z(a),z(b)$ 为起点和终点.

称满足 $a<t_1<b,a\leqslant t_2\leqslant b$ , 当 $t_1\neq t_2$ 时有 $z(t_1)=z(t_2)$ 的点 $z(t_1)$ 为曲线 $C$ 的重点.

没有重点的曲线称为简单曲线或若尔当曲线.

特别地, 当起点和终点是同一个点时称之为闭曲线.

tip

设 $\gamma$ 是复平面上的一条简单闭曲线. 则 $\gamma$ 的补集 $\mathbb{C}\backslash\gamma$ 是两个区域的并, 其中一个是有界区域, 另一个是无界区域, 它们以 $\gamma$ 为共同边界.

并将其中的有界闭区域称为 $\gamma$ 的内部.

这部分内容同样详见数学分析-多元函数极限- $\mathbb{R}^n$ 中的点集, 将复平面对应到 $\mathbb{R}^2$ , 并用复数的模长代表距离.

涉及柯西收敛准则, 波尔查诺-魏尔斯特拉斯等定理.