泛函分析：共轭空间 / 赋范空间垂直

迁移来源

• 旧站标题：赋范空间垂直
• 新站标题：泛函分析：共轭空间 / 赋范空间垂直
• 旧站路径：/math/课程/泛函分析/chapters/共轭空间/赋范空间垂直/
• 旧页面 ID：566

赋范空间上的垂直 #

definition

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间.

设 $M$ 是 $\mathscr X$ 的子空间, 定义 $^\perp M:=\lbrace f\in \mathscr X^*:f(x)=0(\forall x\in M)\rbrace$.

设 $N$ 是 $\mathscr X^*$ 的子空间, 定义 $N^\perp:=\lbrace x\in\mathscr X: f(x)=0(\forall f\in N)\rbrace$.

info

$M$ 的左垂直 $^\perp M$ 是 $\mathscr X^*$ 的闭子空间; $N$ 的右垂直 $N^\perp$ 是 $\mathscr X$ 的闭子空间.

tip

\

• (1) $( ^{\perp}M)^\perp=\overline{M}$.
• (2) $^{\perp}(N^\perp)\supset \overline{N}$.
• (3) 若 $X$ 自反, 则 $^{\perp}(N^\perp)=\overline{N}$.

note

设 $\mathscr X,\mathscr Y$ 是 $B^*$ 空间, $T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$, 则 $T^*\in\mathscr L(\mathscr Y^*,\mathscr X^*)$ {{< admonition tip “命题” true >}}\

• (1) $\ker(T^*)=^\perp \text{Ran}(T)$.
• (2) $(\ker(T^*))^\perp=(^\perp\text{Ran(T)})^\perp=\overline{\text{Ran}(T)}$.
• (3) $\ker(T)=\text{Ran}(T^*)^\perp$.
• (4) $^\perp\ker (T)=^\perp(\text{Ran}(T^*)^\perp)\supset\overline{\text{Ran}(T^*)}$.

• 空间 $\mathscr X$ 的自反性蕴含 $^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}$.
• 若 $T=R+K$ 其中 $R$ 可逆, $K$ 紧, 则也有 $^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}$.