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反常积分

无穷积分 #

定义 #

$\int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx = \lim\limits_{A\to +\infty} \int_{a}^{A} f(x) \ dx$

柯西收敛准则 #

$\int_a^{+\infty} f(x) \text{d} x$ 收敛的充要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$, 均存在 $A>0$，使得对任意的 $A_1,A_2>A$ 有

$$\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x) \text{d} x\right|<\varepsilon$$

.

单调数列 #

设 $f(x)$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上的函数，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \text{d} x$ 收敛的充要条件是：任意一个趋于 $+\infty$ 且满足 $A_1\ge a$ 的单调递增数列 $\{A_n\}$ 使级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty \int_{A_{n-1}}^{A_n} f(x) \text{d} x$ 收敛

单调数列 #

设 $f(x)$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上的非负函数，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \text{d} x$ 收敛的充要条件是：存在一个趋于 $+\infty$ 且满足 $A_1\ge a$ 的单调递增数列 $\{A_n\}$ 使级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty \int_{A_{n-1}}^{A_n} f(x) \text{d} x$ 收敛

无穷积分的 Abel 引理 #

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调。若对任一 $x \in [a,b]$ 都存在 $M>0$ 使得

$$\left|\int_a^x f(t) \text{d} t\right| \le M$$

则

$$\left|\int_a^b f(x)g(x) \text{d} x\right|\le M(|g(a)|+2|g(b)|)$$

阿贝尔判别法 #

设 $\int_a^{+\infty}$ 收敛， $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调且有界，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x) \text{d} x$ 收敛.

狄利克雷判别法 #

假设函数 $F(A)=\int_a^Af(x) \text{d} x$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界， $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调且 $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=0$，那么反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\text{d} x$ 收敛.

瑕积分 #

定义 #

设 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上有定义，$a$ 是 $f(x)$ 唯一的奇点（瑕点）,且对任意的 $c \in (a,b]$，$f(x)$ 在 $[c,b]$ 上可积. 若极限

$$\lim\limits_{c\to a^+} \int_c^b f(x) \text{d} x$$

存在，则称反常积分 $\int_a^b f(x) \text{d} x$ 收敛.

求和与积分之间的联系 #

definition

a {{< /admonition >}} 设 $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个元素族。又设 $a<b$，并对任意的 $t \in [a,b]$ 记 $S(t)=\sum\limits_{a<n\le t} a_n$，则对任意的 $f \in C'([a,b])$ 有

$$\sum\limits_{a<n \le b} a_nf(n)=S(b)f(b)-\int_a^b S(t)f'(t)\ \text{d}t$$

推论1 #

假设 $\{a_n\}$ 是一个数列，并记 $S(t)=\sum\limits_{n\le t}a_n$. 又设 $x \ge 1$，那么对任意的 $f\in C'([0,x])$ 有

$$\sum\limits_{n\le x} a_nf(n) = S(x)f(x)-\int_1^x S(t)f'(t) \text{d} t$$

欧拉求和公式 #

设 $a<b$，则对任意的 $f\in C'([a,b])$ 有

$$\sum\limits_{a<n\le b} f(n)=\int_a^b f(t)\ \text d t + \int_a^b f'(t)\psi(t)\ \text d t + f(a)\psi(a)-f(b)\psi(b)$$

其中 $\psi(x)=x-[x]-\dfrac 1 2$，且 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

示例 #

[leftmargin=1cm,itemindent=1cm]

• (1)

$$\gamma = \dfrac 1 2 - \int_1^\infty \dfrac{\psi(t)}{t^2}\ \text d t,$$ $$\sum\limits_{n\le x} \dfrac 1 n = \log x +\gamma + O(\dfrac{1}{x})$$

• (2) 斯特林（Stirling）公式

$$n!=e^{n\log n - n}\sqrt{2\pi n}\left(1+O\left(\dfrac 1 n\right)\right)$$