概率论：第 1 次作业

第一次 #

习题 1.2 #

8. 试用事件 $A_1,\cdots,A_5$ 表示如下各事件:

$$\begin{aligned} (1) B_1=\{A_1,\cdots,A_5,\ \text{中至多发生两个}\}; & (2) B_2=\{A_1,\cdots,A_5\ \text{中至少发生两个}\};\\ (3) B_3=\{A_1,\cdots,A_5\ \text{中恰发生两个}\}; & (4) B_4=\{A_1,\cdot,A_5,\ \text{都不发生}\}. \end{aligned}$$

答案

• (1) $B_1=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5\bigcup\limits_{k=j+1}^5 A_i^cA_j^cA_k^c$.
• (2) $B_2=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5 A_iA_j$.
• (3) $B_3=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5 A_iA_j\prod\limits_{k\neq i\wedge k\neq j}A_k^c$.
• (4) $A_1^cA_2^cA_3^cA_4^cA_5^c$.

10. 若 $A,B,C$ 为随机事件, 说明下列各关系式的概率意义:

$$(1) ABC=A;\quad(2)A\cup B\cup C=A;\quad (3)AB\subset C\quad (4)A\subset (BC)^c.$$

答案

• (1) $A,B,C$ 同时发生的概率等于 $A$ 发生的概率, 即 $A$ 同时含于 $B,C$.
• (2) $A,B,C$ 中至少有一个事件发生的概率等于 $A$ 的概率, 即 $B,C$ 均含于 $A$.
• (3) $A,B$ 同时发生时, $C$ 也发生.
• (4) $A$ 发生时, $B,C$ 不同时发生.

13. 盒中盛有许多黑球和白球, 从中相继取出 $n$ 个球, 以 $A_i$ 表示第 $i$ 个被取出的球是白球的事件 $(1\leqslant i\leqslant n)$, 试用 $A_i$ 表示如下事件:

(1) 所有 $n$ 个球都是白球; (2) 至少有一个白球; (3) 恰有一个白球; (4) 不多于 $k$ 个白球; (5) 不少于 $k$ 个白球; (6) 恰有 $k$ 个白球; (7) 所有 $n$ 个球同色.

答案

• (1) $\prod\limits_{i=1}^n A_i$.
• (2) $\bigcup\limits_{i=1}^n A_i$.
• (3) $A_1\Delta A_2\Delta\cdots\Delta A_n$.
• (4) $\bigcup\limits_{j}A_{j_1}^cA_{j_2}^c\cdots A_{j_{n-k}}^c,\ \{j_1,j_2\cdots,j_{n-k}\}\subseteq\Z\cap[1,n]\wedge j_x\neq j_y,\ \forall x\neq y$.
• (5) $\bigcup\limits_{j}A_{j_1}A_{j_2}\cdots A_{j_k},\ \{j_1,j_2\cdots,j_k\}\subseteq\Z\cap[1,n]\wedge j_x\neq j_y,\ \forall x\neq y$
• (6) $\bigcup\limits_{p}A_{p_1}A_{p_1}\cdots A_{p_k}A_{p_{k+1}}^c\cdots A_{p_n}^c$, 其中 $\{p_k\}$ 是 $1\sim n$ 的排列.
• (7) $A_1A_2\cdots A_n\cup A_1^cA_2^c\cdots A_n^c$.