数学 / 泛函分析（徐小绪） 共轭空间 赋范空间垂直 的左垂直 是 的闭子空间; 的右垂直 是 的闭子空间。 约 1 分钟阅读 泛函分析（徐小绪）共轭空间 本页目录1 节赋范空间上的垂直 赋范空间上的垂直 # 定义 设 X\mathscr XX 是 B∗B^*B∗ 空间. 设 MMM 是 X\mathscr XX 的子空间, 定义 ⊥M:={f∈X∗:f(x)=0(∀x∈M)}^\perp M:=\lbrace f\in \mathscr X^*:f(x)=0(\forall x\in M)\rbrace⊥M:={f∈X∗:f(x)=0(∀x∈M)}. 设 NNN 是 X∗\mathscr X^*X∗ 的子空间, 定义 N⊥:={x∈X:f(x)=0(∀f∈N)}N^\perp:=\lbrace x\in\mathscr X: f(x)=0(\forall f\in N)\rbraceN⊥:={x∈X:f(x)=0(∀f∈N)}. 注 MMM 的左垂直 ⊥M^\perp M⊥M 是 X∗\mathscr X^*X∗ 的闭子空间; NNN 的右垂直 N⊥N^\perpN⊥ 是 X\mathscr XX 的闭子空间. 命题 ((1)) (⊥M)⊥=M‾( ^{\perp}M)^\perp=\overline{M}(⊥M)⊥=M. ((2)) ⊥(N⊥)⊃N‾^{\perp}(N^\perp)\supset \overline{N}⊥(N⊥)⊃N. ((3)) 若 XXX 自反, 则 ⊥(N⊥)=N‾^{\perp}(N^\perp)=\overline{N}⊥(N⊥)=N. 证明 设 X,Y\mathscr X,\mathscr YX,Y 是 B∗B^*B∗ 空间, T∈L(X,Y)T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)T∈L(X,Y), 则 T∗∈L(Y∗,X∗)T^*\in\mathscr L(\mathscr Y^*,\mathscr X^*)T∗∈L(Y∗,X∗) 命题 ((1)) ker(T∗)=⊥Ran(T)\ker(T^*)=^\perp \text{Ran}(T)ker(T∗)=⊥Ran(T). [(2)] (ker(T∗))⊥=(⊥Ran(T))⊥=Ran(T)‾(\ker(T^*))^\perp=(^\perp\text{Ran(T)})^\perp=\overline{\text{Ran}(T)}(ker(T∗))⊥=(⊥Ran(T))⊥=Ran(T). [(3)] ker(T)=Ran(T∗)⊥\ker(T)=\text{Ran}(T^*)^\perpker(T)=Ran(T∗)⊥. [(4)] ⊥ker(T)=⊥(Ran(T∗)⊥)⊃Ran(T∗)‾^\perp\ker (T)=^\perp(\text{Ran}(T^*)^\perp)\supset\overline{\text{Ran}(T^*)}⊥ker(T)=⊥(Ran(T∗)⊥)⊃Ran(T∗). 空间 X\mathscr XX 的自反性蕴含 ⊥ker(T)=Ran(T∗)‾^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}⊥ker(T)=Ran(T∗). 若 T=R+KT=R+KT=R+K 其中 RRR 可逆, KKK 紧, 则也有 ⊥ker(T)=Ran(T∗)‾^\perp\ker(T)=\overline{\text{Ran}(T^*)}⊥ker(T)=Ran(T∗). 上一节 · 泛函分析（徐小绪）共轭空间与共轭算子下一节 · 泛函分析（徐小绪）一致凸空间 讨论 评论 正在加载评论… 邮箱 获取验证码 验证码 验证 评论 提交评论 退出登录
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