泛函分析-徐小绪：赋范空间 / 最佳逼近元

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definition

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ , 如果 $\forall x,y\in\mathscr X, x\neq y$ 只要 $\Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1$ 则必有 $\Vert \alpha x+\beta y \Vert<1(\forall \alpha,\beta>0, \alpha+\beta=1)$ , 那么就称 $\mathscr X$ 是严格凸的, 称 $\alpha x+\beta y$ 为 $x$ 和 $y$ 的凸组合.

tip

设 $\mathscr{X}$ 是严格凸的 $B^*$ 空间, $\mathscr X_0$ 是 $\mathscr X$ 的有穷维子空间, 则对任意的 $x\in \mathscr X$ , 存在唯一的 $x_0\in\mathscr X_0$ 使得 $\Vert x-x_0 \Vert=\rho(x,\mathscr X_0)$ . 称 $x_0$ 为 $x$ 在 $\mathscr X_0$ 中的最佳逼近元.

info

最佳逼近元的存在性不需要严格凸性, 唯一性需要严格凸性.

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