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泛函分析-徐小绪：度量空间 / 列紧集

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definition

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是一个度量空间, A⊂XA\subset \mathscr X.

若 AA 中的任何点列在 X\mathscr X 中均有收敛子列, 则称 AA 是列紧的.

若这个子空间还收敛到 AA 中, 则称 AA 是自列紧的.

若空间 X\mathscr X 是列紧的, 则称 X\mathscr X 是列紧空间.

abstract
  • 有限点集是列紧集.
  • 列紧集的任何(闭)子集都是(自)列紧的.
  • 列紧空间必是完备空间.
example

Rn\mathbb{R}^n 中的有界(闭)集是(自)列紧集

{{< admonition definition “定义 ε\varepsilon 网” true >}} 设 MM 是 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中的一个子集, ε>0\varepsilon>0, N⊂MN\subset M.

若 ∀x∈M,∃y∈N\forall x\in M,\exists y\in N 使 ρ(x,y)<ε\rho(x,y)<\varepsilon, 则称 NN 是 MM 的一个 ε\varepsilon 网.

info
  • (1.) M⊂⋃y∈NB(y,ε)M\subset\bigcup\limits_{y\in N}B(y,\varepsilon).
  • (2.) 若 NN 是有穷集合 (个数依赖于 ε\varepsilon), 则称 NN 是 MM 的一个有穷 ε\varepsilon 网.
definition

如果 ∀ε>0\forall \varepsilon>0 都存在 MM 的有穷 ε\varepsilon 网, 则称 MM 是完全有界的.

info

此处可理解为在度量 ρ\rho 下的有限覆盖, 即存在有限开球覆盖的集合是完全有界集.

tip

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是度量空间. M⊂XM\subset \mathscr X. 若 MM 是列紧的, 则 MM 是完全有界集.

note

反证法. 若 ∃ ε>0\exists \, \varepsilon > 0 使 MM 中没有有穷的 ε\varepsilon 网.

任取 x1∈Mx_1 \in M, 则 ∃x2∈M∖B(x1,ε)\exists x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon).

对 {x1,x2}⊂M\lbrace x_1, x_2\rbrace \subset M, ∃x3∈M∖(B(x1,ε)∪B(x2,ε))\exists x_3 \in M \setminus \bigl( B(x_1, \varepsilon) \cup B(x_2, \varepsilon) \bigr).

…\dots

对 {x1,x2,…,xn}⊂M\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n\rbrace \subset M, ∃xn+1∈M∖⋃k=1nB(xk,ε)\exists x_{n+1} \in M \setminus \bigcup\limits_{k=1}^n B(x_k, \varepsilon).

…\dots

于是 ρ(xn,xm)⩾ε(n≠m)\rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon \quad (n \neq m), 故没有收敛子列, 这与 MM 列紧矛盾.

tip

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是完备度量空间. M⊂XM\subset\mathscr X. 若 MM 是完全有界集, 则 MM 是列紧的.

note

设 {xn}\lbrace x_n\rbrace 是 MM 中的任一点列, 下面找出其收敛子列.

注意 ∀ ε>0\forall \, \varepsilon > 0 都存在 MM 的有限 ε\varepsilon-网.

对 11 网, ∃y1∈M\exists y_1 \in M 和 {xn}\lbrace x_n\rbrace 的子列 {xn(1)}⊂B(y1,1)\lbrace x_n^{(1)}\rbrace \subset B(y_1, 1).

对 1/21/2 网, ∃y2∈M\exists y_2 \in M 和 {xn(1)}\lbrace x_n^{(1)}\rbrace 的子列 {xn(2)}⊂B(y2,1/2)\lbrace x_n^{(2)}\rbrace \subset B(y_2, 1/2).

…\dots

对 1/k1/k 网, ∃yk∈M\exists y_k \in M 和 {xn(k−1)}\lbrace x_n^{(k-1)}\rbrace 的子列 {xn(k)}⊂B(yk,1/k)\lbrace x_n^{(k)}\rbrace \subset B(y_k, 1/k).

…\dots

取子列 {x1(k)}k=1∞\lbrace x_1^{(k)}\rbrace _{k=1}^\infty 构成 Cauchy 列.

因 X\mathscr X 完备, 故 {x1(k)}k=1∞\lbrace x_1^{(k)}\rbrace _{k=1}^\infty 收敛.

tip

若度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中的完全有界集都是列紧集, 则 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是完备的.

note

任取 (X,ρ)(\mathscr X, \rho) 中的 Cauchy 列 {xn}\lbrace x_n\rbrace .

∀ ε>0, ∃N>0\forall \, \varepsilon > 0, \ \exists N > 0 只要 m>N+1m > N+1 就有 ρ(xn,xm)<ε\rho(x_n, x_m) < \varepsilon.

{x1,x2,…,xN}\lbrace x_1, x_2, \dots, x_N\rbrace 是 {xn}\lbrace x_n\rbrace 的有限 ε\varepsilon 网, 故 {xn}\lbrace x_n\rbrace 为完全有界集.

由定理条件知 {xn}\lbrace x_n\rbrace 是列紧集, 故 {xn}\lbrace x_n\rbrace 是 (X,ρ)(\mathscr X, \rho) 中的收敛列.

Cauchy 列若有收敛子列则是收敛列.

tip

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是度量空间, M⊂XM\subset \mathscr X.

MM 是完全有界集 ⇔\Leftrightarrow MM 中任何的一个点列必有 Cauchy 子列.

note

"⇒\Rightarrow": 设 {xn}\lbrace x_n\rbrace 是 MM 中的任一列, 下面找出其 Cauchy 子列. 因为 MM 是完全有界集, 所以 ∀ ε>0\forall \, \varepsilon > 0 都存在 MM 的有限 ε\varepsilon-网.

对 11 网, ∃y1∈M\exists y_1 \in M 和 {xn}\lbrace x_n\rbrace 的子列 {xn(1)}⊂B(y1,1)\lbrace x_n^{(1)}\rbrace \subset B(y_1, 1).

对 1/21/2 网, ∃y2∈M\exists y_2 \in M 和 {xn(1)}\lbrace x_n^{(1)}\rbrace 的子列 {xn(2)}⊂B(y2,1/2)\lbrace x_n^{(2)}\rbrace \subset B(y_2, 1/2).

对 1/n1/n 网, ∃yk∈M\exists y_k \in M 和 {xn(k−1)}\lbrace x_n^{(k-1)}\rbrace 的子列 {xn(k)}⊂B(yk,1/n)\lbrace x_n^{(k)}\rbrace \subset B(y_k, 1/n).

取对角线子列 {xk(k)}\lbrace x_k^{(k)}\rbrace 构成 Cauchy 列.

"⇐\Leftarrow": 反证法. 若 ∃ ε>0\exists \, \varepsilon > 0 使 MM 中没有有限的 ε\varepsilon-网.

任取 x1∈Mx_1 \in M, ∃x2∈M∖B(x1,ε)\exists x_2 \in M \setminus B(x_1, \varepsilon).

对 {x1,x2}⊂M\lbrace x_1, x_2\rbrace \subset M, ∃x3∈M∖(B(x1,ε)∪B(x2,ε))\exists x_3 \in M \setminus \bigl( B(x_1, \varepsilon) \cup B(x_2, \varepsilon) \bigr).

对 {x1,x2,…,xn}⊂M\lbrace x_1, x_2, \dots, x_n\rbrace \subset M, ∃xn+1∈M∖⋃k=1nB(xk,ε)\exists x_{n+1} \in M \setminus \bigcup_{k=1}^n B(x_k, \varepsilon).

于是 ρ(xn,xm)⩾ε(n≠m)\rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon \quad (n \neq m), 故没有 Cauchy 子列, 这与条件矛盾.

definition

若度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 有可数的稠密子集, 就称这个度量空间是可分的.

info

可分空间中的问题可在其可数稠密子集上考虑.

tip

若度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 完全有界, 则 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是可分的.

note

令 NnN_n 是 X\mathscr X 的 有穷 1n\frac 1 n 网.

则 ⋃n=1∞Nn\bigcup\limits_{n=1}^\infty N_n 是 X\mathscr X 的可数稠密子集.

question

题目 #

1⩽p<∞1\leqslant p<\infty 时 Lp[a,b]L^p[a,b] 可分. L∞[a,b]L^{\infty}[a,b] 不可分.

题目 #

1⩽p<∞1\leqslant p<\infty 时 lp[a,b]l^p[a,b] 可分. l∞[a,b]l^{\infty}[a,b] 不可分.

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