复变函数

章节与知识点

按李忠《复变函数》八章二十六节组织，从基础概念逐步进入解析函数的局部性质与整体几何。

1. 01

   第一章 复数的运算与复平面上的拓扑

   已有部分内容

   连接复数运算与平面几何，以拓扑和完备性描述极限所处的空间。

   李忠《复变函数》第 1 章，第 1-26 页。

   1. 1.1 复数域与复数的几何表示

      复数运算、模与辐角，以及复平面中的几何表示。

   2. 1.2 复平面上的拓扑与复数域的完备性

      用邻域、点集与曲线理解复平面，联系复数序列的收敛。

   • 教材习题
     第 1 章各节习题

     李忠《复变函数》第 1 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

2. 02

   第二章 复变量函数

   章节框架

   建立复函数的映射观点，学习极限、形式偏导数和基本初等函数。

   李忠《复变函数》第 2 章，第 27-68 页。

   1. 2.1 复变量函数的概念

      把复函数视为平面之间的映射，联系实部与虚部的表达。

   2. 2.2 复变量函数的极限与连续性

      从复平面各个方向的逼近理解极限与连续。

   3. 2.3 复变量函数的形式偏导数

      以复变量及其共轭的形式偏导数组织微分运算。

   4. 2.4 复变量基本初等函数

      认识复指数、对数及相关初等函数，注意多值性与分支。

   • 教材习题
     第 2 章各节习题

     李忠《复变函数》第 2 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

3. 03

   第三章 解析函数的概念

   章节框架

   从复导数出发辨析可导与解析，并考察解析映射的局部几何。

   李忠《复变函数》第 3 章，第 69-90 页。

   1. 3.1 解析函数的定义

      区分一点处的复可导与区域上的解析性。

   2. 3.2 可导的充要条件

      联系实部、虚部的微分条件与复可导判据。

   3. 3.3 解析映射的几何意义

      用导数理解局部伸缩、旋转与角度关系。

   • 教材习题
     第 3 章各节习题

     李忠《复变函数》第 3 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

4. 04

   第四章 柯西定理与柯西公式

   章节框架

   以曲线积分建立解析函数的积分理论，连接边界积分与内部函数值。

   李忠《复变函数》第 4 章，第 91-131 页。

   1. 4.1 复变量函数的曲线积分

      通过曲线参数化定义、计算和估计复积分。

   2. 4.2 柯西定理

      研究解析性和区域条件如何约束闭路积分。

   3. 4.3 柯西积分公式及其应用

      由边界积分表达函数值与导数，理解积分公式的作用。

   4. 4.4 解析函数的最大模原理

      研究非恒定解析函数的模在区域内部与边界的关系。

   • 教材习题
     第 4 章各节习题

     李忠《复变函数》第 4 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

5. 05

   第五章 解析函数的幂级数展开及其相关理论

   章节框架

   从函数序列与幂级数进入解析函数的局部展开。

   李忠《复变函数》第 5 章，第 132-148 页。

   1. 5.1 解析函数的序列与幂级数

      考察函数序列的收敛及幂级数的收敛区域。

   2. 5.2 解析函数的幂级数展开及其推论

      用局部幂级数表示解析函数，并据此研究函数性质。

   • 教材习题
     第 5 章各节习题

     李忠《复变函数》第 5 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

6. 06

   第六章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点

   章节框架

   用环域中的级数展开分析奇点，并认识整函数与亚纯函数。

   李忠《复变函数》第 6 章，第 149-173 页。

   1. 6.1 洛朗展开

      在环域中采用含负次幂的级数表示函数。

   2. 6.2 解析函数的孤立奇点

      借助洛朗展开区分可去奇点、极点与本性奇点。

   3. 6.3 整函数与亚纯函数

      从局部奇点分类转向整函数与亚纯函数的整体性质。

   • 教材习题
     第 6 章各节习题

     李忠《复变函数》第 6 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

7. 07

   第七章 留数定理与辐角原理

   章节框架

   以留数联系局部展开与闭路积分，再用于零极点计数和定积分。

   李忠《复变函数》第 7 章，第 174-200 页。

   1. 7.1 留数定理

      提取洛朗展开的关键系数，计算围绕奇点的积分。

   2. 7.2 亚纯函数的辐角原理

      通过沿闭曲线的辐角变化研究区域内的零点与极点。

   3. 7.3 留数定理在定积分计算中的应用

      选择适当的积分路径，将部分实积分转化为留数计算。

   • 教材习题
     第 7 章各节习题

     李忠《复变函数》第 7 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。

8. 08

   第八章 解析函数的几何理论

   章节框架

   从解析映射与分式线性变换进入黎曼映射、解析延拓及黎曼曲面。

   李忠《复变函数》第 8 章，第 201-237 页。

   1. 8.1 解析映射的几何特征

      结合解析函数的性质考察映射对区域和局部形状的影响。

   2. 8.2 分式线性变换

      研究分式线性变换的确定方式及其对圆与直线的作用。

   3. 8.3 黎曼映射定理

      认识区域之间共形等价的存在性问题。

   4. 8.4 解析延拓

      研究如何将局部解析函数延伸到更大的定义范围。

   5. 8.5 完全解析函数与黎曼曲面

      借助黎曼曲面组织解析延拓与多值函数的不同分支。

   • 教材习题
     第 8 章各节习题

     李忠《复变函数》第 8 章各节末；习题答案与提示见书末第 238 页起。