极小曲面问题

对定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的函数.

$$\rho(x)=\begin{cases} ke^{-1/(1-|x|)},\quad& |x|<1 \\ 0,\quad & |x|\geqslant 1 \end{cases}$$

特别的, 在二维平面中, 我们可以固定 $k$, 使得

$$\iint_{\mathbb{R}^2}\rho(x,y)\text{d} x\text{d} y=1$$

定义 $\rho_n(x,y)=n^2\rho(nx,ny)$. 从而有

$$\begin{aligned} &\rho_n(x,y) \in C_0^\infty (\mathbb{R}^2)\\ &\iint_{\mathbb{R}^2} \rho_n(x,y)\text{d} x\text{d} y=1 \end{aligned}$$

且 $\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \frac 1 n$ 时 $\rho_n=0$.