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定义稠密子集度量空间

设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合 $E\subset\mathscr X$ .

若对任意的 $x\in\mathscr X$ 和 $\varepsilon>0$ , 存在 $z\in E$ , 使得 $\rho(z,x)<\varepsilon$ . 则称 $E$ 是 $\mathscr X$ 中的稠密子集.

例

$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密.

定义疏集

设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合 $E\subset\mathscr X$ , 若 $\overline{E}$ 无内点, 则称 $E$ 是 $\mathscr{X}$ 中的疏集.

定理疏集的等价定义

设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间, 集合 $E\subset\mathscr X$ . 则 $E$ 是疏集当且仅当对任意的球 $B(x_0,r_0)$ 总存在开球 $B(x,r)\subset B(x_0,r_0)$ 使得 $\overline{E}\cap\overline{B(x,r)}=\varnothing$

证明

" $\Leftarrow$ ": 反证法.

" $\Rightarrow$ ": 考虑 $B(x_0,r_0)\backslash \overline{E}$ . 首先

定义第一纲集与第二纲集

在距离空间 $(\mathscr X,\rho)$ 上, 如果 $E=\bigcup\limits_{n\geqslant 1}E_n$ , 其中 $E_n$ 是疏集, 则称 $E$ 是第一纲集. 不是第一纲集的集合称为第二纲集.

例

$\mathbb{R}$ 中 $\mathbb{Q}$ 是第一纲集.

定理不考

在 $C[0,1]$ 中处处不可微的函数集合 $E$ 非空, 且 $E$ 的余集是第一纲集.

定理 Baire

完备的度量空间 $(\mathscr X,\rho)$ 是第二纲集.

证明

反证法. 假设是第一纲集, 则存在可数个疏集 $E_n$ .

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