泛函分析作业：2025-12-08

$\Leftarrow$: $f=0,\text{a.e.}$ 时, 有 $Fx=0,\text{a.e.}$ 在 $L^2$ 度量下均为零元, 从而 $\text{Ker}(F)=L^2(\Omega)$. 故显然 $F$ 是紧算子.

$\Rightarrow$:

由于 $L^2$ 是自反空间, 根据紧算子的性质只需证明 $A$ 全连续, 即证明当 $u_n\xrightarrow{w}0$ 时有 $Au_n\to 0$.

由 $K\in L^2(\Omega\times\Omega)$, 从而 $\Vert Au \Vert\leqslant\Vert u \Vert\int_{\Omega}\Vert K(x,\cdot) \Vert\text{d} x=\Vert K(\cdot,\cdot) \Vert\cdot\Vert u \Vert$, 即 $A$ 有界.

我们有 $Au_n\xrightarrow{w}0$, 又 $L^2(\Omega)$ 是 Hilbert 空间, 故只需要证明 $\Vert Au_n \Vert\to 0$ 即可. (习题 2.5.19)

设 $\varphi_x(u)=\int_{\Omega}K(x,y)u(y)\text{d} y$. 由 Cauchy-Schwarz 不等式 $|\varphi_x(u)|\leqslant\Vert K(x,\cdot) \Vert\cdot\Vert u \Vert$ 从而 $\varphi_x$ 是连续的, 故 $\varphi_x\in L^2(\Omega)^*$.

那么由 $u_n\xrightarrow{w}0$ 知 $\varphi_x(u_n)\to 0$, 即 $\forall x\in\Omega, Au_n(x)\to 0$.

由 $u_n\xrightarrow{w}0$ 故存在 $M>0$ 使得 $\Vert u_n \Vert<M$. (考虑到第二共轭空间的自然嵌入 $J_{u_n}$ 作为有界线性算子族对 $\Vert f \Vert=1$ 一致有界.)

从而

由题设 $G(x)=M^2\int_{\Omega}|K(x,y)|^2\text{d} y\in L^2(\Omega)$ 且控制了 $|Au_n(x)|$, 根据 Lebesgue 控制收敛定理

对 $X/X_0$ 中的任意有界列 $\{[x_n]\}$, 存在代表元列 $\{x_n'\}$ 满足 $\Vert x_n' \Vert\leqslant \Vert [x_n] \Vert+1$ 且有 $T[x_n]=T[x_n']=[Ax_n']$, 从而 $\{x_n'\}$ 是 $X$ 中的有界集, 故 $\{Ax_n'\}$ 是列紧的. 即存在收敛子列 $\{Ax_{n_k}'\}$, 设收敛至 $x_0$.

下证 $\norm{[Ax_{n_k}']-[x_0]}\to 0$.

有 $\norm{[Ax_{n_k}']-[x_0]}=\norm{[Ax_{n_k}'-x_0]}=\inf\limits_{y\in X_0}\norm{Ax_{n_k}'-x_0+y}\leqslant\norm{Ax_{n_k}'-x_0}\to 0$.

从而 $[Ax_{n_k}']\to [x_0]$, 即 $\{[Ax_n']\}$ 存在收敛子列. 所以 $T$ 将有界集映成列紧集是紧算子.

反设不成立, 即存在 $\varepsilon>0$, 存在 $\{x_n\}$ 满足 $\Vert x_n \Vert_Y>\varepsilon\Vert x_n \Vert_X+n\Vert x_n \Vert_Z$. 设 $u_n=x_n/\Vert x_n \Vert_Y$ 等价于

从而得到

即 $\{u_n\}$ 在 $X$ 中有界, $\{u_n\}$ 在 $Z$ 中趋于 $0$.

由 $X\to Y$ 的嵌入映射是紧的, 从而在 $Y$ 中存在收敛子列, 设 $u_{n_k}\xrightarrow{\Vert \cdot \Vert_Y}u_0$.

再由 $Y\to Z$ 是连续的, 所以 $u_{n_k}\xrightarrow{\Vert \cdot \Vert_Z}u_0$. 结合前面的结论有 $u_0=0$.

但我们还有 $\Vert u_n \Vert_Y=1$, 所以 $\Vert u_0 \Vert_Y=1$ 矛盾!

综上假设不成立, 即原命题成立.

由题设条件 $\text{dim}X/M=\text{codim}M=n$. 从而可以取 $X/M$ 的基 $\{[e_1],[e_2],\ldots,[e_n]\}$.

考虑映射 $g_i([x])=g_i(\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i[e_i])=\alpha_i$ 显然是连续的, 从而是有界线性泛函.

那么定义 $\varphi_i(x)=g_i([x])$. 下证 $\{\varphi_i\}$ 线性无关.

设 $\sum\limits_{k=1}^n c_k\varphi_k=0$ 那么有

依次代入 $[x]=[e_j]+M$ 则有 $c_j=0$. 所以 $\{\varphi_i\}$ 线性无关.

首先, 显然有 $\varphi_i(M)=g_i([0])=[0]$. 所以 $M\subset N(\varphi_i)$, 即 $M\subset\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$.

另一方面, 若 $x\in\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$, 即 $0=\varphi_k(x)=g_k([x])$.

设 $[x]=\sum\limits_{k=1}^n c_k [e_k]$, 依次带入 $g_k$ 得到 $g_k([x])=c_k=0$. 从而 $[x]=[0]$, 即 $x\in M$.

综上 $M=\bigcap\limits_{k=1}^n N(\varphi_k)$.