同态与商群：把无法区分的元素合在一起

本章目录 · 前置：陪集与 Lagrange 定理

保持运算的映射 #

取模映射 $f:\mathbb Z\to\mathbb Z/m\mathbb Z$（$m\ge1$）把整数送到余数类，满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$。它丢掉了具体整数的信息，却保留了加法。这是群同态的典型动机。

设 $G,K$ 为群。映射 $f:G\to K$ 若满足

$$f(ab)=f(a)f(b)\qquad(a,b\in G),$$

就称为群同态。右侧运算在 $K$ 中进行。两边若是加法群，就应写加法。若同态还是双射，则称为同构，记 $G\cong K$。

同态自动保持单位元和逆元。由 $f(e_G)=f(e_G)^2$，在 $K$ 中消去一个因子得 $f(e_G)=e_K$；再由 $f(a)f(a^{-1})=f(e_G)=e_K$ 得 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$。

只验证 $f(e_G)=e_K$ 远远不够；定义要求对每对元素保持乘法。

核与像分别记录什么 #

定义同态的核与像：

$$\ker f=\{g\in G:f(g)=e_K\},\qquad \operatorname{im}f=\{f(g):g\in G\}.$$

核在定义域中，像在陪域中。二者分别是 $G$ 与 $K$ 的子群：核非空，对 $ab^{-1}$ 封闭；像含 $e_K$，且 $f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})$ 仍在像中。

令 $N=\ker f$。关键等价关系是

$$f(a)=f(b) \quad\Longleftrightarrow\quad f(a^{-1}b)=e_K \quad\Longleftrightarrow\quad a^{-1}b\in N \quad\Longleftrightarrow\quad aN=bN.$$

所以所有与 $a$ 有相同像的元素恰好组成左陪集 $aN$。核不仅告诉我们哪些元素变成单位元，还决定了映射会把哪些元素合并。特别地，$f$ 单射当且仅当 $\ker f=\{e_G\}$。

正规性让左右陪集相同 #

子群 $N\le G$ 若对每个 $g\in G$ 都满足 $gN=Ng$，称为正规子群，记为 $N\trianglelefteq G$。等价地，$gNg^{-1}=N$ 对每个 $g$ 成立。

这里允许 $N=G$，也允许 $N=\{e_G\}$。交换群的每个子群都正规，但正规子群内部不必交换，正规也不意味着其元素与全群每个元素逐一交换。

同态的核一定正规。 若 $n\in\ker f$，则

$$f(gng^{-1})=f(g)e_Kf(g)^{-1}=e_K.$$

因此 $gNg^{-1}\subseteq N$。将同样的包含关系用于 $g^{-1}$，得 $g^{-1}Ng\subseteq N$，再共轭回去便得 $N\subseteq gNg^{-1}$。两向包含给出相等。

这个反向包含不能省成“显然相等”：上述论证对无限群也有效，不依靠有限集合的大小比较。

商群运算为什么良定义 #

设 $N\trianglelefteq G$。把所有陪集作为新元素，记成 $G/N=\{gN:g\in G\}$，尝试定义

$$(aN)(bN)=(ab)N.$$

必须先证明换代表元不改变结果。若 $a'=an_1$、$b'=bn_2$，其中 $n_1,n_2\in N$，则

$$a'b'=an_1bn_2=ab\,(b^{-1}n_1b)n_2.$$

正规性保证 $b^{-1}n_1b\in N$，所以 $a'b'N=abN$。这一步正是正规性承担的工作。

运算良定义后，结合律来自 $G$；单位元是陪集 $N=e_GN$；$aN$ 的逆元是 $a^{-1}N$。因此 $G/N$ 构成群，称为商群。有限群情形还有 $|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$。

商群中的元素是一整个陪集。写 $aN=N$ 表示 $a\in N$，并不表示 $a=e_G$。

缺少正规性会坏在哪里 #

沿用 $S_3$ 中的 $H=\{e,(12)\}$，置换从右到左复合。令 $b=(123)$。$e$ 和 $(12)$ 表示同一个陪集 $H$，但若强行按代表相乘，第一种选择给出 $bH$，第二种给出 $(12)bH$。两者不同，因为

$$b^{-1}(12)b=(13)\notin H.$$

所以这条乘法规则连函数都没有定义好。陪集集合总是存在，按上述规则构成商群则需要正规性。

群同态基本定理 #

自然映射 $\pi:G\to G/N$，$g\mapsto gN$，是满同态，核正好是 $N$。这说明每个正规子群都能成为某个同态的核。

反过来，对任意同态 $f:G\to K$，令 $N=\ker f$，则

$$G/\ker f\cong\operatorname{im}f.$$

证明要给出具体同构，而不只是比较元素个数。定义

$$\overline f:G/N\longrightarrow\operatorname{im}f, \qquad gN\longmapsto f(g).$$

前面证明的 $aN=bN\Longleftrightarrow f(a)=f(b)$ 同时保证了良定义和单射；值域选成像，所以它满射；最后

$$\overline f((aN)(bN))=f(ab)=f(a)f(b) =\overline f(aN)\overline f(bN).$$

因此它是同构。整个证明不要求 $G$ 有限。若 $f$ 不是满射，结论右侧只能写 $\operatorname{im}f$，不能直接写整个 $K$。

丘维声教材称此为“群同态基本定理”。一些教材称它为“第一同构定理”；丘书后续的“第一群同构定理”是另一条结论，阅读时应按公式对齐，而不要只对齐编号。

一个完整的有限例子 #

考虑加法同态

$$f:\mathbb Z/12\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Z/8\mathbb Z, \qquad \overline x\longmapsto\overline{2x}.$$

先查良定义：若 $x-y$ 是 $12$ 的倍数，则 $2x-2y$ 是 $24$ 的倍数，当然也是 $8$ 的倍数。再查保持加法。核由 $8\mid2x$ 即 $4\mid x$ 决定，故核为 $\{\overline0,\overline4,\overline8\}$；像为 $\{\overline0,\overline2,\overline4,\overline6\}$。

于是定义域的商群有 $12/3=4$ 个元素，与这个四元素像同构。像由 $\overline2$ 生成，故还同构于 $\mathbb Z/4\mathbb Z$，却不同构于整个八元素陪域。

三道自检 #

1. 一个看起来相同的公式 #

公式 $\overline x\mapsto\overline{2x}$ 能否定义从 $\mathbb Z/6\mathbb Z$ 到 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ 的映射？

解答

不能。整数 $0$ 与 $6$ 在定义域表示同一元素，但它们分别给出模 $8$ 的 $0$ 与 $12\equiv4$。在谈同态前，必须先是良定义的映射。

2. 所有从整数出发的同态 #

设 $f:(\mathbb Z,+)\to G$ 为同态，$f(1)=a$。求像与核，并分别讨论 $a$ 的有限阶、无限阶。

解答

对每个整数 $k$，$f(k)=a^k$，负整数情形使用保持逆元。故像为 $\langle a\rangle$。若 $a$ 的阶为 $m<\infty$，则核为 $m\mathbb Z$；若 $a$ 无限阶，核为 $\{0\}$。同态基本定理重新给出有限循环群与 $\mathbb Z/m\mathbb Z$ 同构、无限循环群与 $\mathbb Z$ 同构。

3. 平方映射何时是同态 #

证明映射 $s:G\to G$，$s(g)=g^2$，是同态当且仅当 $G$ 交换。

解答

交换时 $(ab)^2=a^2b^2$。反过来，若对所有 $a,b$ 有 $abab=aabb$，左消去 $a$、右消去 $b$，得到 $ba=ab$。不能把循环群中可用的指数运算习惯直接推广到任意非交换群。

回到课程主线 #

现在可以把循环群分类看作同态基本定理的一次应用，也能用“先找同态，再求核与像”的方法识别商群。本章目录保留了后续同构定理与群结构的阅读入口。

教材定位：丘维声《近世代数》（北京大学出版社，2015 年第 1 版）§1.6，第 50—57 页。本节讲到群同态基本定理，不包括该节后续的第一、第二群同构定理及子群对应定理。