复变函数：复数域与扩充复平面

复数域与复数的几何表示 #

复数域 #

定义

复数及其运算, 共轭复数, 复数的模等定义与高中相同.

按照数域的定义, 可以验证全体复数组成数域, 称之为复数域, 记作 $\mathbb{C}$.

关于模和共轭复数的一些性质（涉及除法时均假定 $z_2\ne 0$）:

$$\begin{aligned} |z_1z_2|=|z_1||z_2|;\quad \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|};\\ |z|=|\overline{z}|;\quad |z|^2=z\overline{z};\\ \overline{(\overline{z})}=z;\quad \overline{(z_1\pm z_2)}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2};\\ \overline{(z_1z_2)}=\overline{(z_1)}\overline{(z_2)};\quad \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}};\\ \t{Re} (z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2};\quad \tIm(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2\t{i}} \end{aligned}$$

例

$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-2\t{Re}(z_1\overline{z_2})$.

例

证明实系数多项式的非实根成共轭对出现。

证明

考虑 $\alpha$ 是实系数多项式 $P(z)$ 的一个根, 那么

$$\begin{aligned} P(\overline{\alpha}) &= a_0\overline{\alpha}^n+\cdots+a_n\\ &=a_0\overline{\alpha^n}+\cdots+a_n\\ &=\overline{a_0\alpha^n+\cdots+a_n}\\ &=\overline{P(\alpha)}=\overline{0}=0. \end{aligned}$$

复数的几何表示 #

定义

考虑平面直角坐标系上的点 $(x,y)$ 对应到复数 $z=x+y\text{i}$ 那么就称之为复平面. 并称 $x$ 轴为实轴, $y$ 轴为虚轴.

对非零复数 $z=x+y\text{i}$，从原点指向对应点 $P(x,y)$ 的向量 $\overrightarrow{OP}$ 与实轴正方向的有向夹角称为 $z$ 的 辐角。若 $\theta_0$ 是其中一个辐角，则所有辐角为 $\theta_0+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)$。零没有辐角。

注

非零复数的辐角是有向角. 即这是一个周期值, 与圈数有关. 并定义逆时针旋转为正值.

为了统一辐角, 我们规定 $-\pi<\theta\leqslant\pi$. 并称在这个范围内辐角为辐角主值, 记作 $\arg(z)$.

有了辐角的定义, 设 $\theta$ 是复数 $z$ 的辐角, 则有

$$z=|z|(\cos\theta+\text{i}\sin\theta).$$

三角不等式:

$$||z_1|-|z_2||\leqslant|z_1-z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|$$ $$||z_1|-|z_2||\leqslant|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|$$

乘除法的几何意义: [leftmargin=3cm]

• 乘法: 模长相乘, 辐角相加.
• 除法: 模长相除, 辐角相减.

定理 棣莫弗 (De Moivre)

对整数 $n\in\mathbb Z$，有 $(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)^n=\cos n\theta+\text{i}\sin n\theta$。

有了上述定理下面考虑计算复数的开方:

设 $n$ 为正整数，$z_2\ne 0$，并取 $z_2$ 的一个辐角 $\theta$。方程 $z_1^n=z_2$ 的全部解为

$$z_{1,k}=|z_2|^{1/n}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+\text{i}\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),\qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

这些解两两不同，共 $n$ 个。式中的角不必落在辐角主值区间内；若 $z_2=0$，则只有解 $z_1=0$（按重数计为 $n$ 重根）。

无穷远点与扩充复平面 #

定义

把复平面的无穷远设想为一个点, 称之为无穷远点, 并记作 $\infty$.

我们约定, $\infty$ 的模是无穷, 而其辐角没有意义.

无穷远点的计算:

• (1) 加法: $\alpha+\infty=\infty+\alpha=\infty\quad (\alpha\neq\infty)$.
• (2) 减法: $\alpha-\infty=\infty-\alpha=\infty\quad (\alpha\neq\infty)$.

定义

添加了无穷远点的复平面称为扩充复平面或黎曼球面, 记作 $\overline{\mathbb{C}}$.