群作用与轨道-稳定子定理

群在集合上的作用, 轨道-稳定子定理 #

定义

设 $G$ 是一个群, $\Omega$ 是一个非空集合. 如果映射

\\begin{aligned} \\sigma:&G\\times \\Omega & \\to & \\Omega \\\\ &(a,x) & \\mapsto & a \\circ x \\end{aligned}

满足:

\\begin{aligned} (ab)\\circ x=a\\circ(b\\circ x), & \\forall\\ a,b \\in G,\\ \\forall\\ x\\in \\Omega, \\\\ e\\circ x= x, & \\forall\\ x \\in \\Omega. \\end{aligned}

那么称群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用.

注

可理解为 $a \circ x$ 运算, 就是 $G$ 中元素 $a$ 在 $\Omega$ 上的作用.

更直接的, 我们任给 $a\in G$ 就可以得到一个 $\Omega$ 到自身的映射 $\psi(a)$ :

\\begin{aligned} \\psi(a):& \\Omega & \\to & \\Omega \\\\ & x & \\mapsto & a\\circ x. \\end{aligned}

容易验证 $\psi(a)$ 是 $\Omega$ 上的可逆变换, 其逆映射就是 $\psi(a^{-1})$ , 从而 $\psi(a)$ 是 $\Omega$ 到自身的双射, 即 $\psi(a) \in S_\Omega$ .

由此, 我们令

\\begin{aligned} \\psi: & G &\\to&S_\\Omega \\\\ & a & \\mapsto & \\psi(a), \\end{aligned}

则 $\psi$ 是 $G$ 到 $S_\Omega$ 的一个映射. 可以类似的验证 $\psi$ 保持运算, 即 $\psi$ 是 $G$ 到 $S_\Omega$ 的同态.

命题

设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 任给 $a\in G$ , 令

\\psi(a)x:=a\\circ x,\\quad \\forall\\ x\\in \\Omega,

则 $\psi:a\mapsto\psi(a)$ 是 $G$ 到 $S_\Omega$ 的一个群同态.

定义

我们称同态 $\psi$ 的核 $\t{Ker}\psi$ 为这个作用的核. 可以得到, $a\in G$ 是这个作用的核 $\Leftrightarrow\ a\circ x=x,\quad \forall x \in G.$

定义

当 $\t{Ker}\psi=\{e\}$ 时, 称这个作用是忠实的, 此时 $\psi$ 是一个单同态.

命题

设群 $G$ 到非空集合 $\Omega$ 上的全变换群 $S_\Omega$ 有一个同态 $\psi$ , 令

a\\circ x:=\\psi(a)x,\\quad \\forall\\ a\\in G,\\forall\\ x \\in \\Omega,

则 $G$ 在 $\Omega$ 上有一个作用.

1. 群 $G$ 在集合 $G$ 上的左平移

设 $G$ 是一个群, 令

<MathBlock source={String.raw`\\begin{aligned} G\\times G & \\to & G \\\\ (a,x) & \\mapsto & ax. \\end{aligned}`} />

容易验证这是 $G$ 在集合 $G$ 上的作用, 称该作用为 $G$ 在集合 $G$ 上的左平移.

并且左平移的核 $\Leftrightarrow\ ax=x\Leftrightarrow a=e$ , 即左平移是忠实的作用. 所以 $G\cong \t{Im}\psi$ , 即 $G$ 与 $G$ 上的一个变换群同构.

定理 Cayley

任意一个群都同构于某一集合上的变换群.

1. 群 $G$ 在左商集 $(G/H)_l$ 上的左平移

设 $H$ 是 $G$ 的子群, 令

<MathBlock source={String.raw`\\begin{aligned} G\\times(G/H)_l & \\to & (G/H)_l \\\\ (a,xH) & \\mapsto & axH. \\end{aligned}`} />

容易验证这是 $G$ 在 $(G/H)_l$ 上的作用, 称之为 $G$ 在 $(G/H)_l$ 上的左平移.

注: 当题目中有子群时, 优先考虑在其左商集上的左平移.

3. 群 $G$ 在集合 $G$ 上的共轭作用

令

<MathBlock source={String.raw`\\begin{aligned} G\\times G & \\to & G \\\\ (a,x) & \\mapsto & axa^{-1}. \\end{aligned}`} />

容易验证, 这是 $G$ 在 $G$ 上的作用, 称之为共轭作用.

定义

设 $Z(G):=\{b\in G|bx=xb,\forall x\in G\}$ , 易得 $Z(G)$ 是共轭作用的核. 我们称 $Z(G)$ 为群 $G$ 的中心, 它是由与 $G$ 中每个元素都可交换的元素组成的集合.

群 $G$ 在集合 $G$ 上的共轭作用引出了一个 $G$ 到 $S_G$ 的同态 $\sigma$ , 把 $a$ 在 $\sigma$ 下的像记作 $\sigma_a$ , 于是

\\begin{equation} \\sigma_a(x)=a\\circ x=axa^{-1},\\quad \\forall\\ x\\in G. \\end{equation}

容易验证 $\sigma_a$ 是 $G$ 到自身的同构映射.

定义

群 $G$ 到自身的一个同构映射称为 $G$ 的一个自同构. 由 (\ref{共轭作用}) 式定义的 $\sigma_a$ 称为 $G$ 的一个内自同构.

此外, 群 $G$ 的所有自同构组成的集合对于映射的乘法构成一个群, 称它为自同构群, 记作 $\Aut(G)$ .

群 $G$ 的所有内自同构组成的集合是上述的 $\tIm\sigma$ , 它是 $S_G$ 的一个子群, 称它是 $G$ 的内自同构群, 记作 $\Inn(G)$ .

由于 $G$ 的每个内自同构 $\sigma_a$ 是 $G$ 的一个自同构, 因此 $\Inn(G)<\Aut(G)$ .

更进一步的, 可以验证 $\Inn(G)\lhd\Aut(G)$ .

定理

对于群 $G$ 有

G/Z(G)\\cong \\Inn(G).

证明

由于 $\Ker\sigma=Z(G),\tIm\sigma=\Inn(G)$ , 根据群同态基本定理 $G/Z(G)\cong \Inn(G)$ .

引理

集合 $\Omega$ 上的二元关系:

\\begin{equation} y\\sim x:\\Leftrightarrow\\exists\\ a\\in G,\\ s.t.\\ y=a\\circ x. \\end{equation}

是等价关系.

定义

我们称

G(x):=\\{a\\circ x|a\\in G\\},

为 $x$ 的 $G$ -轨道. 且 $G(x)$ 是等价关系(\ref{群作用划分二元关系})中的一个等价类. 于是 $\Omega$ 的所有 $G$ -轨道组成的集合是 $\Omega$ 的一个划分. $\Omega$ 的任意两条轨道要么相等, 要么不交. 且所有轨道的并是 $\Omega$ .

若 $\Omega$ 的子集 $I=\{x_i\}$ 使得

\\begin{equation} \\Omega=\\bigcup\\limits_{i\\in I}G(x_i), \\end{equation}

且当 $i\neq j$ 时有 $G(x_i)\cap G(x_j)=\varnothing$ . 那么就称 $I$ 为 $\Omega$ 的 $G$ -轨道的完全代表系.

定义

我们称

G_x:=\\{g\\in G|g\\circ x=x\\},

为 $x$ 的稳定子群.

容易验证 $G_x$ 是 $G$ 的子群. 且 $G_x$ 中的每个元素作用 $x$ 保持 $x$ 不变.

引理

任给 $a,b\in G$ , $aG_x=bG_x\Leftrightarrow b^{-1}a\in G_x\Leftrightarrow a\circ x=b\circ x$ .

因此 $G_x$ 的某个陪集中的元素对 $x$ 的作用是相同的. 从而考虑

<MathBlock source={String.raw`\\begin{aligned} \\varphi:(G/G_x)_l & \\to & G(x)\\\\ aG_x & \\mapsto & a\\circ x, \\end{aligned}`} />

由引理 \ref{稳定子群陪集作用相同} 可知 $\varphi$ 是 $(G/G_x)_l$ 到 $G(x)$ 的一个单射, 从其定义可知这也是个满射, 由此 $\varphi$ 是双射. 于是我们有 $|G(x)|=|(G/G_x)_l|$ .

定理轨道-稳定子定理

设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则对于任给 $x\in\Omega$ , 有

\\begin{equation} |G(x)|=|(G/G_x)_l|=[G:G_x] \\end{equation}

推论

如果有限群 $G$ 在 $\Omega$ 上有一个作用, 那么对于 $x\in \Omega$ 有

|G|=|G_x||G(x)|.

下面考虑上述讨论在共轭作用中的应用.

定义

我们称共轭作用中的 $G$ -轨道 $G(x)=\{axa^{-1}|a\in G\}$ 为 $x$ 的共轭类.

当且仅当 $x\in Z(G)$ 时, 有 $|G(x)|=1$ .

定义

当 $G$ 为有限群时, 我们称

\\begin{equation} |G|=|Z(G)|+\\sum\\limits_{j=1}^r|G(x_j)| \\end{equation}

为有限群 $G$ 的类方程. 其中 $Z(G)$ 为 $G$ 的中心, $\{x_1,x_2\ldots,x_r\}$ 为 $G$ 的非中心元素的共轭类的完全代表系.

定义

在共轭作用下, 我们称 $C_G(x):=G_x=\{g\in G|g\circ x=x\}=\{g\in G|gx=xg\}$ 为 $x$ 在 $G$ 里的中心化子.

推论

运用轨道-稳定子定理可知, $|G(x)|=[G:C_G(x)]$ .

以上就是在共轭作用中的特殊例子.

定义

如果群 $G$ 在 $\Omega$ 上的作用只有一条轨道, 即 $\forall\ x,y\in\Omega,\ \exists\ g\in G,\ s.t. y=g\circ x$ , 那么称 $G$ 在 $\Omega$ 上的这个作用是传递的. 并称 $\Omega$ 是群 $G$ 上的一个齐性空间.

命题

设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则对任一给定 $x\in \Omega$ , 对于轨道 $G(x)$ 有 $\forall\ y\in G(x)$ , $G_x$ 和 $G_y$ 彼此共轭, 即存在 $a\in G$ , 使得 $G_y=aG_x a^{-1}$ . 从而 $|G_x|=|G_y|,[G:G_x]=[G:G_y]$ .

定义

对于给定的 $g\in G$ , 我们称 $F(g):=\{x\in\Omega|g\circ x=x\}$ 为 $g$ 的不动点集. 即 $g$ 存在于哪些 $x$ 的稳定子群中.

定理 \t{Burnside} 引理

设有限群 $G$ 在有限集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则 $\Omega$ 的 $G$ -轨道条数 $r$ 为

r=\\frac{1}{|G|}\\sum\\limits_{g\\in G}|F(g)|.

证明

考虑集合

S=\\{(g,x)|g\\circ x=x\\}.

一方面, $|S|=\sum\limits_{x\in \Omega}|G_x|=r|G|$ .

由命题 \ref{prop:群作用1} 同一条轨道上的元素的稳定子群阶数相同, 从而同一条轨道上元素的稳定子群阶数和为 $|G|$ .

另一方面, $|S|=\sum\limits_{g\in G}|F(g)|$ .

定义

设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 对于 $x\in\Omega$ , 若 $x$ 的 $G$ -轨道只含一个元素(即 $x$ 自身), 则称 $x$ 是群 $G$ 的一个不动点. 群 $G$ 的所有不动点组成的集合称为群 $G$ 的不动点集, 记作 $\Omega_0$ .

定义

若有限群 $G$ 的阶是素数 $p$ 的方幂, 即 $|G|=p^m,\ (m\geqslant 1)$ , 则称 $G$ 是 $p$ -群.

命题

设 $p$ -群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则

|\\Omega_0|\\equiv|\\Omega|(\\bmod p).

推论

$p$ -群 $G$ 必有非平凡中心, 即 $Z(G)\neq \{e\}$ .

推论

设 $p$ 是素数, 则 $p^2$ 阶群要么是循环群, 要么同构于 $(\seta Z p,+)\oplus(\seta Z p,+)$ , 从而 $p^2$ 阶群都是 $\t{Abel}$ 群.

练习

题目 #

设 $G$ 是一个群. 证明: 如果 $G/Z(G)$ 是循环群, 那么 $G$ 是 \Abel 群.

题目 #

(书本习题 1.8/28) 设 $G$ 为一个有限群, $p$ 为 $|G|$ 的最小素因子. 证明: 指数为 $p$ 的子群必为正规子群.

群在集合上的作用, 轨道-稳定子定理 #

题目 #

题目 #

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