泛函分析作业：2025-09-15

令 $T(x)=x-f(x)/f'(x)$。由 $f\in C^2$ 和 $f'(\hat x)\ne0$，可在 $\hat x$ 附近选取闭区间 $I=[\hat x-\delta,\hat x+\delta]\subset(a,b)$，使 $f'$ 在 $I$ 上不为零，且

这样的区间存在，是因为 $T'$ 连续且 $T'(\hat x)=0$。 由中值定理和 $T(\hat x)=\hat x$，对 $x,y\in I$ 有

因此 $T$ 把完备度量空间 $I$ 映入自身，并且是压缩映射。 Banach 不动点定理给出唯一不动点 $\hat x$，以及任意 $x_0\in I$ 的迭代收敛性。 取 $U(\hat x)=(\hat x-\delta,\hat x+\delta)$ 即得题目结论。 这里在闭区间 $I$ 上应用定理，再得到邻域内的结论；开区间本身不必完备。

下面保留 Mworks 程序与对应结果图，程序未在本轮重新运行。

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clc()

f(x)=exp.(x).-2 #求此函数的零点
df(x)=exp.(x)   #此函数的导数

#绘制f的函数图像
t=0:0.1:1.1
plot(t,f(t),"k")
hold("on")

#绘制直线y=0
plot(t,zeros(size(t)),"r")

x0=0   #初始猜测
N=3    #总迭代次数
x=zeros(1,N+1)
x[1]=x0;
for ii=1:N
x[ii+1]=x[ii]-f(x[ii])/df(x[ii])
text(x[ii],f(x[ii]),string(ii-1),color="black",fontsize=14)
plot(x[ii:ii+1],f(x[ii:ii+1]),"b")
plot(x[ii+1],f(x[ii+1]),"r*")
end
text(x[N+1],f(x[N+1]),string(N),color="black",fontsize=14)
saveas(gcf(),"1d1d2.eps")
[x;
abs.(x.-log(2))] #零点为log(2)

记度量空间为 $(\mathscr X,\rho)$.

设 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 是该度量空间上的任意收敛列, 且收敛至 $x_0$. 那么对于 $\rho(Tx_n,Tx_0)$, 由于 $T$ 是压缩映射, 故存在 $0<\alpha<1$ 满足 $\rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha\rho(x,y),\ \forall x,y\in\mathscr X$, 于是 $0\leqslant\rho(Tx_n,Tx_0)\leqslant\alpha\rho(x_n,x_0)$, 根据夹逼准则可知 $\rho(Tx_n,Tx_0)\to 0\ (n\to \infty)$, 所以 $T$ 是连续的.

记度量空间为 $(\mathscr X,\rho)$，设 $T$ 的压缩系数为 $0\le\alpha<1$。 逐次应用 $\rho(Tx,Ty)\le\alpha\rho(x,y)$，得到

又 $T^n$ 仍将 $\mathscr X$ 映入自身，且 $\alpha^n<1$，故它是压缩映射。

逆命题不成立。在 $[0,1)$ 上取通常距离，令

因为 $0<c<1$，它是到自身的映射。$T'(x)=3cx^2$ 在靠近 $1$ 时大于 $1$，所以 $T$ 不是压缩映射。 但 $T^2(x)=c^4x^9$，从而

由中值定理可知 $T^2$ 是压缩映射。

构造的关键是链式法则 $(T^2)'(x)=T'(T(x))T'(x)$。 更一般地，令 $T(x)=cx^k$，取整数 $k>1$ 与 $0<c<1$，可要求

上例取 $k=3$，$c$ 是 $1/3$ 与 $1/\sqrt3$ 的中点。

由 $\rho(Tx,Ty)<\rho(x,y)$ 和三角不等式可得

从而 $\rho(x,Tx)$ 是连续的.

由于 $M$ 是 $\mathbb{R}^n$中的有界闭集, 所以存在最小值点 $x_0$, 使得 $\rho(x_0,Tx_0)$ 是最小的. 如果 $\rho(x_0,Tx_0)=0$ 那么 $x_0$ 就是不动点.

反之, 如果 $\rho(x_0,Tx_0)>0$, 那么 $\rho(Tx_0,T^2x_0)<\rho(x_0,Tx_0)$, 从而 $Tx_0$ 更小, 与 $x_0$ 是最小值点矛盾.

而不动点的唯一性和压缩映像原理相同, 假设有两个不动点, 那么 $\rho(x_0,x_1)=\rho(Tx_0,Tx_1)<\rho(x_0,x_1)$, 矛盾.

综上, $T$ 在 $M$ 中存在唯一不动点.

注: 在度量空间中的连续要转变思维用度量去衡量, 即在取 $\delta$ 时, 是对 $\rho(x,x')$ 的限制. 注意区分度量在欧式距离中的连续, 和度量空间中的连续.

在完备空间 $C[0,1]$ 上取一致范数 $\|f\|_\infty=\max_{t\in[0,1]}|f(t)|$。 令 $\varphi(t)=e^{-t}x(t)$、$\psi(t)=e^{-t}y(t)$，则原方程等价于

定义 $T\varphi=\psi+\lambda\int_0^1\varphi(s)\,\mathrm ds$。 它将 $C[0,1]$ 映入自身；对任意 $f,g\in C[0,1]$，差 $Tf-Tg$ 为常数，故

压缩系数是 $|\lambda|<1$，而不是可能为负的 $\lambda$。 由 Banach 不动点定理，$\varphi$ 存在且唯一；乘以 $e^t$ 是 $C[0,1]$ 上的双射，故 $x$ 也存在且唯一。

还可以直接核对该解。对变换后的方程积分，得到

题设 $|\lambda|<1$ 保证分母不为零；代回原式即可验证。

下面保留 Mworks 程序与对应结果图，程序未在本轮重新运行。

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clc()

n=20; #离散节点总数
t=1/(2*n):1/n:1-1/(2*n) #居中节点

iter=5 #总迭代次数
x=zeros(n,iter+1)
plot(t,x[:,1],"b*",linewidth=4) #绘制初始猜测(蓝色点)
hold("on")
text(t[end],x[end,1],string(0),color="black",fontsize=14)
lambda=0.5
y=(1-lambda).*exp.(t)
for ii=1:iter
x[:,ii+1]=lambda/n*exp.(t .- transpose(t))*x[:,ii]+y
color_value=2*ii/iter-1 #取值范围调整为-1 到 1, 为使线段颜色可以rgb插值渐变
if color_value>0
plot(t,x[:,ii+1],color=[color_value,1-color_value,0]) #绘制此步结果
else
plot(t,x[:,ii+1],color=[0,1+color_value,-color_value]) #绘制此步结果
end
text(t[end],x[end,ii+1],string(ii),color="black",fontsize=14)
end
x_true=exp.(t)
plot(t,x_true,"r*",linewidth=4) #绘制精确结果(红色点)
saveas(gcf(),"1d1d7.eps")
[x x_true]