紧集

只需证明 $A$ 的余集 $A^c$ 为开集即可.

即证明 $\forall x \in A^c$, 存在包含 $x$ 的开集包含于 $A^c$.

$\{ B(y, \tfrac{1}{3}\rho(y, x)) : y \in A \}$ 构成 $A$ 的开覆盖.

$A$ 是紧集, 所以 $\exists y_1, y_2, \dots, y_N \in A$ 使

于是

设 $\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$ 是 $M$ 的一族开覆盖.

则 $\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda} \cup \{M^c\}$ 构成 $A$ 的一族开覆盖.

$A$ 是紧集, 故 $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使

而 $M \subset A$, 于是

(反证法) 假设 $\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \varnothing$.

任取 $\alpha_1 \in \Lambda$, 寻找 $F_{\alpha_1}$ 的开覆盖.

由于 $\bigcap_{\alpha \in \Lambda} F_{\alpha} = \varnothing$, 所以

于是

$F_{\alpha_1}$ 是紧集,

故 $\exists \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_N \in \Lambda$ 使

于是

此即

矛盾.

设 $\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$ 是 $A$ 的一个开覆盖, 即

所以

由引理条件知, $\exists \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 使 $\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \cap A = \varnothing.$

这说明 $\bigcap\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}^c \subset A^c,$ 故而 $A \subset \bigcup\limits_{k=1}^N V_{\alpha_k}.$

(反证法) 假设 $\{x_n\}$ 在 $A$ 中没有聚点.

$\forall q \in A$, 存在 $q$ 的一个开邻域 $V_q$ 使 $V_q$ 至多包含 $\{x_n\}$ 中的有限个点.

$\{V_q : q \in A\}$ 构成 $A$ 的一族开覆盖.

$A$ 是紧集 $\Rightarrow \exists q_1, q_2, \dots, q_N \in A$ 使

矛盾!

(反证法) 假设 $\{V_{\alpha}\}_{\alpha \in \Lambda}$ 是 $A$ 的一个开覆盖, 但 $A$ 不能被其中的有限个元素覆盖.

$A$ 是列紧集 $\Rightarrow A$ 是完全有界集 $\Rightarrow$ 存在 $A$ 的有穷 $\tfrac{1}{n}$ 网 $\Rightarrow$

$A$ 是列紧集, 故 $\{y_n\}$ 有收敛子列 $\{y_{n_k}\}$, 记 $y_{n_k} \to y \ (k \to \infty)$, 则 $y \in A$.

因为 $\{V_{\alpha}\}$ 覆盖了 $A$, 故存在 $\alpha \in \Lambda$ 使 $y \in V_{\alpha}$.

由 $V_{\alpha}$ 是开集知, 存在 $\delta > 0$ 使 $B(y, \delta) \subset V_{\alpha}$.

任取 $z \in B(y_{n_k}, 1/n_k)$, 有

于是

矛盾!