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泛函分析-徐小绪：赋范空间 / 线性空间

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迁移来源

线性空间、准范数和范数 #

拓扑结构: 有收敛 (开集) 的定义.

代数结构: 有代数运算的定义.

  • 加法和数乘关于拓扑连续, 则构成拓扑向量空间.
  • 加法和数乘关于度量连续, 则构成线性度量空间.
  • 加法和数乘关于范数连续, 则构成线性赋范空间.
definition

设 X\mathscr X 是线性空间, ∥⋅∥\Vert\cdot\Vert 是 X\mathscr X 到 R\mathbb{R} 的非负实值函数, 满足

  • (正定性) ∥x∥⩾0\Vert x\Vert\geqslant 0 且 ∥x∥=0⇔x=0\Vert x\Vert =0\Leftrightarrow x=0.
  • (齐次性) ∥αx∥=∣α∣∥x∥ (∀α∈K,x∈X)\Vert\alpha x\Vert=|\alpha|\Vert x \Vert\ (\forall \alpha\in \mathbb K,x\in \mathscr X).
  • (三角不等式) ∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥\Vert x+y\Vert\leqslant \Vert x\Vert +\Vert y\Vert

则称 ∥⋅∥\Vert \cdot \Vert 是 X\mathscr X 上的范数, 称 X\mathscr X 是线性赋范空间, 记作 B∗B^* 空间.

info

赋范空间一定是度量空间. 记 ρ(x,y)=∥x−y∥\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert 称为范数诱导的度量.

info

若不满足正定性, 只满足齐次性和三角不等式则成为半范数.

definition

若 {xn}⊂X,x∈X\lbrace x_n\rbrace \subset\mathscr X, x\in\mathscr X 满足 ∥xn−x∥→0\Vert x_n-x \Vert\to 0, 称 {xn}\lbrace x_n\rbrace 依范数收敛到 xx.

definition

设 {xn}⊂X\lbrace x_n\rbrace \subset\mathscr X. 若 ∥xn−xm∥→0\Vert x_n-x_m \Vert\to 0, 则称为赋范空间中的柯西列.

definition

完备的 B∗B^* 空间称为 Banach 空间, 记作 BB 空间.

example

Lp[a,b] (1≤p<∞)L^p[a,b] \ (1 \leq p < \infty) 是 BB 空间, 其中

∥u∥:=(∫ab∣u(x)∣p dx)1/p.\|u\| := \left( \int_a^b |u(x)|^p \, dx \right)^{1/p}.
example

L∞[a,b]L^\infty[a,b] 是 BB 空间, 其中

∥u∥:=inf⁡m(E0)=0E0⊂[a,b](sup⁡x∈[a,b]∖E0∣u(x)∣).\|u\| := \inf_{\substack{m(E_0)=0 \\ E_0 \subset [a,b]}} \left( \sup_{x \in [a,b] \setminus E_0} |u(x)| \right).
example

C[a,b]C[a,b] 是 BB 空间, 其中

∥f∥:=max⁡t∈[a,b]∣f(t)∣.\|f\| := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|.
example

Ck[a,b]C^k[a,b] 是 BB 空间, 其中

∥f∥:=max⁡n⩽kmax⁡t∈[a,b]∣f(n)(t)∣.\|f\| := \max_{n \leqslant k} \max_{t \in [a,b]} |f^{(n)}(t)|.

这里 f(n)f^{(n)} 表示对 ff 求 nn 次导数.

example

能在 C∞[a,b]C^\infty[a,b] 上定义一个范数使之成为 BB 空间吗?

definition
tip

设 (X,∥⋅∥)(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert) 是一个 B∗B^* 空间, 则 X\mathscr X 完备等价于 X\mathscr X 中绝对收敛的级数必收敛.

definition

设 (X,∥⋅∥1)(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_1) 和 (X,∥⋅∥2)(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_2) 均为赋范空间.

若对任意满足 ∥xn∥2→0\Vert x_n \Vert_2\to 0 的点列 {xn}\lbrace x_n\rbrace 都有 ∥xn∥1→0\Vert x_n \Vert_1\to 0. 则称 ∥⋅∥2\Vert \cdot \Vert_2 比 ∥⋅∥1\Vert \cdot \Vert_1 强.

若互相比对方强, 则称二者等价.

tip

∥⋅∥2\Vert \cdot \Vert_2 比 ∥⋅∥1\Vert \cdot \Vert_1 强等价于 ∃C>0\exists C>0 使 ∥x∥1⩽C∥x∥2\Vert x \Vert_1\leqslant C\Vert x \Vert_2.

example

C[a,b]C[a,b] 上, 若 1≤p1<p2≤∞1 \leq p_1 < p_2 \leq \infty, 则 ∥⋅∥p2\|\cdot\|_{p_2} 比 ∥⋅∥p1\|\cdot\|_{p_1} 强.

note
  • p2=∞p_2 = \infty 时, 易知
∥f∥p1≤(b−a)1/p1∥f∥∞, \|f\|_{p_1} \leq (b-a)^{1/p_1} \|f\|_{\infty}, ∫ab∣f∣p1dx≤(b−a)∥f∥∞p1. \int_a^b |f|^{p_1} dx \leq (b-a)\|f\|_{\infty}^{p_1}.
  • p2<∞p_2 < \infty 时, 取 r=p2p1, 1r+1r′=1r = \tfrac{p_2}{p_1}, \ \tfrac{1}{r} + \tfrac{1}{r'} = 1, 利用 Hölder 不等式可得
∫ab(∣f∣p1⋅1) dx≤{∫ab(∣f∣p1)rdx}1/r{∫ab1r′dx}1/r′≤C{∫ab∣f∣p2dx}p1/p2. \int_a^b \big(|f|^{p_1}\cdot 1\big)\, dx \leq \left\lbrace \int_a^b \big(|f|^{p_1}\big)^r dx \right\rbrace ^{1/r} \left\lbrace \int_a^b 1^{r'} dx \right\rbrace ^{1/r'} \leq C \left\lbrace \int_a^b |f|^{p_2} dx \right\rbrace ^{p_1/p_2}.

此即

∥f∥p1≤C1/p1∥f∥p2.\|f\|_{p_1} \leq C^{1/p_1} \|f\|_{p_2}.
question

题目 #

LpL^p 空间函数依范数收敛.

  • 若 ∥fn−f∥p→0\Vert f_n-f \Vert_p\to 0, 则存在子列 {fk}\lbrace f_k\rbrace 几乎处处收敛于 ff.
  • 若 fnf_n 在 [a,b][a,b] 上几乎处处收敛于 ff, 且 ∥fn∥p→∥f∥p\Vert f_n \Vert_p\to\Vert f \Vert_p, 则 ∥fn−f∥p→0\Vert f_n-f \Vert_p\to 0.

题目 #

C01[0,1]C_0^1[0,1] 表示 [0,1][0,1] 上在 0 和 1 处取值为零的一阶连续可微函数全体.

\|f\|_1 := \left( \int_0^1 |f|^2 + |f'|^2 dx \right)^{1/2}, \quad \|f\|_2 := \left( \int_0^1 |f'|^2 dx \right)^{1/2}. 证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1[0,1])$. {{< admonition note "证明" false >}} {{< /admonition >}} ## 题目 若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一单连通有界开集. $C_0^1(\overline{\Omega})$ 表示 $\Omega$ 上在边界 $\partial \Omega$ 取值为零的一阶连续可微函数全体.

|f|1 := \left( \int\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}, \quad |f|2 := \left( \int\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}. 证明: ∃C1,C2>0\exists C_1, C_2 > 0 使 C1∥f∥1≤∥f∥2≤C2∥f∥1(∀f∈C01(Ω‾))C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1(\overline{\Omega})). {{< admonition note “证明” false >}}

题目 #

若 Ω⊂R2\Omega \subset \mathbb{R}^2 是一单连通有界开集, 且有光滑边界.

C~01(Ω‾)\widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega}) 表示 Ω\Omega 上在边界 ∂Ω\partial \Omega 的一个非空开子集 Γ\Gamma 上取值为零的一阶连续可微函数全体.

∥f∥1:=(∫Ω∣f∣2+∣∇f∣2dx)1/2,∥f∥2:=(∫Ω∣∇f∣2dx)1/2.\|f\|_1 := \left( \int_\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}, \quad \|f\|_2 := \left( \int_\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}.

证明: ∃C1,C2>0\exists C_1, C_2 > 0 使 C1∥f∥1≤∥f∥2≤C2∥f∥1(∀f∈C~01(Ω‾))C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in \widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega})).

note

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