内积及不等式

定义内积空间

设 $\mathscr{X}$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且 $(\cdot, \cdot) : \mathscr{X} \times \mathscr{X} \to \mathbb{K}$ 是一个双变量函数, 满足:

(1) (共轭对称性) $(x, y) = \overline{(y, x)}$ ( $\forall x, y \in \mathscr{X}$ );
(2) (正定性) $(x, x) \ge 0$ ( $\forall x \in \mathscr{X}$ ) 且 $(x, x) = 0 \iff x = 0$ ;
(3) (线性性) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha (x_1, y) + \beta (x_2, y)$ ( $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in \mathscr{X}$ ),

则称 $(\cdot, \cdot)$ 是 $\mathscr{X}$ 上的一个内积, 称 $\mathscr{X}$ 为一个内积空间.

注

若 (2) 被替换为非负定条件: $(x, x) \ge 0$ ( $\forall x \in \mathscr{X}$ ), 则称 $(\cdot, \cdot)$ 为一个半内积.
当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , 称 $\mathscr{X}$ 为实内积空间; 当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , 称 $\mathscr{X}$ 为复内积空间.
当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $(x, y) = (y, x)$ .
内积对第二个变元是共轭线性的: $(x, \alpha y_1 + \beta y_2) = \overline{\alpha} (x, y_1) + \overline{\beta} (x, y_2)$ .
当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时, $(x, y) = 0$ .

例

$\mathbb{R}^n$ , $(x, y) := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$ ( $\forall x = (x_1, x_2, \cdots, x_n), y = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$ ).

例

$\ell^2 := \left\{ \{x_n\}_{n \in \mathbb{Z}_+} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty \right\}$ 上定义内积

(\{x_n\}, \{y_n\}) := \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}.

例

在 $L^2[a, b]$ 上定义内积

\begin{align*} (f, g) &:= \int_a^b f(x) \overline{g(x)} \, dx \quad \text{当 } \mathbb{K} = \mathbb{C}; \\ (f, g) &:= \int_a^b f(x) g(x) \, dx \quad \text{当 } \mathbb{K} = \mathbb{R}. \end{align*}

例

设 $\omega$ 是 $[0, 2\pi]$ 上的正值可测函数. 令

L^2([0, 2\pi], \omega) := \left\{ \text{$[0, 2\pi]$ 上的复值可测函数} : \int_0^{2\pi} \omega(x) |f(x)|^2 \, dx < \infty \right\}.

定义内积

(f, g) := \int_0^{2\pi} \omega(x) f(x) \overline{g(x)} \, dx \quad \forall f, g \in L^2([0, 2\pi], \omega).

证明

$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x, y \in \mathscr{X}$ 都有

0 \leqslant (x + \lambda y, x + \lambda y) = (x, x) + 2 \operatorname{Re}[\overline{\lambda} (x, y)] + |\lambda|^2 (y, y).

当 $(x, y) = 0$ 时, 引理显然成立. 下面考虑 $(x, y) \ne 0$ 的情况.

对 $t \in \mathbb{R}$ 在上式中令 $\lambda = t \frac{(x, y)}{|(x, y)|}$ 便有

\begin{align*} 0 &\leqslant t^2 (y, y) + 2t |(x, y)| + (x, x) \\ &= \left( t \sqrt{(y, y)} + \frac{|(x, y)|}{\sqrt{(y, y)}} \right)^2 - \frac{|(x, y)|^2}{(y, y)} + (x, x). \end{align*}

取 $t = -\frac{|(x, y)|}{(y, y)}$ 便得到了 $|(x, y)|^2 \le (x, x)(y, y)$ ( $\forall x, y \in \mathscr{X}$ ).

注

Cauchy-Schwarz 不等式取得等号当且仅当存在 $\lambda \in \mathbb{K}$ 使得 $x + \lambda y = 0$ .

引理

设 $\mathscr{X}$ 是内积空间, 则 $(\cdot, \cdot)$ 关于其诱导的范数连续.

证明

设 $x_n \to x$ , $y_n \to y$ , 下证 $(x_n, y_n) \to (x, y)$ .

\begin{align*} |(x_n, y_n) - (x, y)| &= |(x_n, y_n) - (x_n, y) + (x_n, y) - (x, y)| \\ &\leqslant |(x_n, y_n) - (x_n, y)| + |(x_n, y) - (x, y)| \\ &= |(x_n, y_n - y)| + |(x_n - x, y)| \\ &\leqslant \|x_n\| \|y_n - y\| + \|x_n - x\| \|y\| \to 0 \quad (n \to \infty). \end{align*}

定义 Hilbert 空间

完备的内积空间称为 Hilbert 空间.

注

Hilbert 空间一定是 Banach 空间.

定理内积空间的完备化

任何内积空间都可完备化为一个 Hilbert 空间.

证明

利用内积在其诱导的范数下连续.

定义共轭双线性形式

设 $\mathscr{X}$ 为线性空间, 函数 $a(\cdot, \cdot) : \mathscr{X} \times \mathscr{X} \to \mathbb{K}$ 满足:

(1) 关于第一个变元的线性性: $a(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y) = \lambda_1 a(x_1, y) + \lambda_2 a(x_2, y)$ ( $\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}, \forall x_1, x_2, y \in \mathscr{X}$ );
(2) 关于第二个变元的共轭线性性: $a(x, \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2) = \overline{\lambda_1} a(x, y_1) + \overline{\lambda_2} a(x, y_2)$ ( $\forall \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}, \forall x, y_1, y_2 \in \mathscr{X}$ ),

则称 $a(\cdot, \cdot)$ 为定义在 $\mathscr{X}$ 上的一个共轭双线性形式.

注极化恒等式: 共轭双线性性与二次型的关系

设 $a(\cdot, \cdot)$ 为线性空间 $\mathscr{X}$ 上的共轭双线性形式, 称 $q(x) := a(x, x)$ ( $\forall x \in \mathscr{X}$ ) 为 $a(\cdot, \cdot)$ 诱导的二次型, 则

当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $a(x, y) = \frac{1}{4} [ q(x + y) - q(x - y) ]$ ;
当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ 时, $a(x, y) = \frac{1}{4} [ q(x + y) - q(x - y) + i q(x + iy) - i q(x - iy) ]$ .

推论

当 $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ 时, $(x, y) = \frac{1}{4} ( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 )$ ; \ 当 $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ 时, $(x, y) = \frac{1}{4} ( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i \|x + iy\|^2 - i \|x - iy\|^2 )$ .

定义内积空间的同构

设 $(\mathscr{X}_1, (\cdot, \cdot)_1)$ 和 $(\mathscr{X}_2, (\cdot, \cdot)_2)$ 是两个内积空间, 且 $\| \cdot \|_j := \sqrt{(\cdot, \cdot)_j}$ ( $j = 1, 2$ ). 若存在 ( $B^*$ 空间意义上的) 等距同构映射 $T : (\mathscr{X}_1, \| \cdot \|_1) \to (\mathscr{X}_2, \| \cdot \|_2)$ , 则

(Tx, Ty)_2 = (x, y)_1 \quad (\forall x, y \in \mathscr{X}_1).

此时, 称内积空间 $(\mathscr{X}_1, (\cdot, \cdot)_1)$ 和 $(\mathscr{X}_2, (\cdot, \cdot)_2)$ 等距同构.

证明

利用极化恒等式可证明内积空间中保范的同构也保内积.

定理

在等距同构的意义下, 内积空间有唯一的完备化空间.

练习

题目 #

复内积空间情形的极化恒等式证明.

题目 #

$l^p(1\leqslant p\leqslant \infty)$ 是否可以引入内积使得范数为内积诱导的?

内积空间及一些不等式 #

题目 #

题目 #

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