设 $G$ 的生成元为 $a$, 同态为 $\sigma$, 那么 $\forall b\in \sigma(G),\ \exists a^m\in G,\ s.t. \sigma(a^m)=b$. 从而 $b=\sigma(a^m)=\sigma(a)^m$. 即 $\sigma(G)$ 中的所有元素都可以表示成 $\sigma(a)$ 的整数次幂, 进而 $\sigma(G)=\langle \sigma(a)\rangle$ 是循环群.

$\forall\ a,b\in H,f(a)=g(a),f(b)=g(b),f(ab^{-1})=f(a)+f(b^{-1})=f(a)-f(b)=g(a)-g(b)=g(a)+g(b^{-1})=g(ab^{-1})\Rightarrow ab^{-1}\in H$ 从而说明 $H<X$.

• (1) 自反性: $x=x*x*x^{-1}\Rightarrow (x,x)\in R$.
• (2) 对称性: 若 $(x,y)\in R,\ \exists z\in G,\ s.t. y=z*x*z^{-1}\Rightarrow x=z^{-1}*y*(z^{-1})^{-1})\Rightarrow (y,x)\in R$.
• (3) 传递性: 若 $(a,b),(b,c)\in R,\ \exists d,e\in G,\ s.t. b=d*a*d^{-1},c=e*b*e^{-1}\Rightarrow c=e*d*a*d^{-1}*e^{-1}=(e*d)*a*(e*d)^{-1}\Rightarrow (a,c)\in R$.

综上, $R$ 是等价关系.

• (1) $\forall a\in G$ 若 $a\in H$, 则有 $aH=H=Ha$, 若 $a\notin H$, 则取陪集分解 $G=H\cup aH=H\cup Ha$, 从而 $aH=Ha$.

所以 $H\lhd G$.

• (2) $\forall a\in G$, 由于 $H$ 中元素和 $a$ 可交换从而直接有 $aH=Ha$.
• (3) $\forall a\in G$, $a(H_1\cap H_2)=aH_1\cap aH_2=H_1a\cap H_2a(H_1\cap H_2)a$.

零元: $1$

幺元: $0$

显然在整数中封闭并满足交换律.

是环, 有零因子, $(x,0),(0,y),x,y\in \mathbb{Q}$.

幺元 $(1,1)$.

$(x,y),\ xy\neq 0$ 有逆元.

• (1) \
• m=6 \

子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5\},\{0,2,4\},\{0,3\}$

理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5\},\{0,2,4\},\{0,3\}$

• m=8 \

子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\}$

理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\}$

• m=11 \

子环: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7,8.9,10\}$

理想: $\{0\},\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

• (2)