偏微分方程：波动方程 / 一维初值问题

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初值问题 (一维情形) #

question

$\begin{cases} \Box u= u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)& \mathbb{R}\times(0,\infty)\\ u(x,0)=\varphi(x), & x\in\mathbb{R}\\ u_t(x,0)=\psi(x),& x\in\mathbb{R}. \end{cases}$

纯特征线法 #

做因式分解 $(\frac{\partial}{\partial t}-a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}+a\frac{\partial}{\partial x})u=f(x,t)$.

由此, 设 $v(x,t)=(\frac{\partial}{\partial t}+a\frac{\partial}{\partial x})u$, 原问题变为 $(\frac{\partial}{\partial t}-a\frac{\partial}{\partial x})v=f(x,t)$. 对 $v$ 来说就是一个一阶线性方程, 使用特征线法即可求解. 然后对于 $u$, $v(x,t)=(\frac{\partial}{\partial t}+a\frac{\partial}{\partial x})u$ 也是一阶线性方程, 也可用特征线法求解.

所以, 用因式分解和两次特征线法就可以解出较为简单的波动方程.

Duhamel #

利用解的线性叠加原理, 考虑将原问题拆为三个问题.

$$\begin{cases} \Box u_1=0,\\ u_1(x,0)=\varphi(x),\\ (u_1)_t(x,0)=0. \end{cases}\quad \begin{cases} \Box u_2=0,\\ u_2(x,0)=0,\\ (u_2)_t(x,0)=\psi(x). \end{cases}\quad \begin{cases} \Box u_3=f(x,t)& \mathbb{R}\times(0,\infty)\\ u_3(x,0)=0, & x\in\mathbb{R}\\ (u_3)_t(x,0)=0,& x\in\mathbb{R}. \end{cases}$$

则原问题的解可以表示为 $u=u_1+u_2+u_3$.

tip

设 $u_2=M_{\psi}(x,t)$ 是上述子问题的解, $\psi$ 表示第二个子问题中的边界条件, 则另外两个子问题的解可以表示为

$$\begin{aligned} u_1=\dfrac{\partial}{\partial t}M_{\varphi}(x,t)\\ u_3=\mint[0]^t M_{f_\tau}(x,t-\tau)\text{d} \tau \end{aligned}$$

其中 $f_\tau=f(x,\tau)$.

而对于子问题二, 我们仍采用两次特征线法进行求解, 但此时由于只有一个边界条件, 计算量会少于前一种解法. (不过总的计算量不好比较).