Hahn-Banach 定理

设 $\mathscr X$ 是线性空间. $P(\cdots):\mathscr X\to \mathbb{R}$ 满足

• (1) 正齐次性: $P(\lambda x)=\lambda P(x)$ $\forall\lambda>0$;
• (2) 次可加性: $P(x+y)\leqslant P(x)+P(y)$.

则称 $P(\cdot)$ 是 $\mathscr X$ 上的一个次线性泛函.

如果还满足 $P(x)\geqslant 0$, $P(\alpha x)=|\alpha|P(x)$. 则称为半范数.

$R$ 是集合 $A$ 上的二元关系, 若满足:

• (1) 自反性.
• (2) 反对称性.
• (3) 传递性.

则称为偏序关系.

对于 $A$ 上的偏序关系 $\prec$.

完全性: 若对任意两个元素 $x,y\in A$ 要么 $x\prec y$ 要么 $y\prec x$ 则称 $\prec$ 为全序关系.

第一步(延拓多一维).

$\forall x_1\in \mathscr X\setminus \mathscr X_0$, 令 $\mathscr X_1:=\{x_0+\alpha x_1:x_0\in\mathscr X_0\}$. 若 $f_0$ 能延拓到 $\mathscr X_1$ 成为 $f_1$, 则

要 $f_1$ 在 $\mathscr X_1$ 上受 $p$ 控制, 只需 $\forall x_0\in \mathscr X_0$ 下列条件成立:

• (1) $\alpha=0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)=f_0(x_0)\leqslant p(x_0)$ 显然成立.
• (2) $\alpha>0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)\leqslant p(x_0+\alpha x_1)$. 由次线性泛函的正齐次性等价于 $f_1(x_0/\alpha+x_1)\leqslant p(x_0/\alpha+x_1)$. 再根据 $\mathscr X_0$ 是线性子空间等价于 $f_1(y+x_1)\leqslant p(y+x_1)\ (\forall y\in \mathscr X_0)$. 即 $f_0(y)+f_1(x_1)\leqslant p(y+x_1)$.
• (3) $\alpha<0$ 时, 要求 $f_1(x_0+\alpha x_1)\leqslant p(x_0+\alpha x_1)$. 等价于对 $\alpha>0$ 满足 $f_1(x_0-\alpha x_1)\leqslant p(x_0-\alpha x_1)$. 同 (2) 即 $f_0(z)-f_1(x_1)\leqslant p(z-x_1)\ (\forall z\in\mathscr X_0)$.

结合 (2), (3) 能够延拓只要满足 $f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant f_1(x_1)\leqslant p(y+x_1)-f_0(y)\ (\forall y,z\in \mathscr X_0)$.

即只要 $\sup\limits_{z\in\mathscr X_0} f_0(z)-p(z-x_1)\leqslant\inf\limits_{y\in\mathscr X_0}p(y+x_1)-f_0(y)$. 就可以构造这样的 $f_1(x_1)$. 从而做到延拓一维.

第二步(延拓到$\mathscr X$ 上). 定义 $\mathscr F:=\left\lbrace (\mathscr X_\lambda, f_\lambda):\begin{cases} f_\lambda \in \mathscr X_\lambda^*;\\ \mathscr X_0\subset \mathscr X_\lambda \subset \mathscr X;\\ f_\lambda(x)=f_0(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_0);\\ f_\lambda(x)\leqslant p(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_\lambda). \end{cases}\right\rbrace$ 在 $\mathscr F$ 上引入二元关系: $(\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_1})\prec (\mathscr X_{\lambda_1},f_{\lambda_2})\Leftrightarrow\begin{cases} \mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2},\\ f_{\lambda_1}(x)=f_{\lambda_2}(x)\ (\forall x\in\mathscr X_1). \end{cases}$ 由于关系中要求的 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}$ 是偏序关系, 所以 $\prec$ 至多是偏序关系. 进一步验证显然可得 $\prec$ 是偏序关系.

而对于其每个全序子集, 一定有 $\mathscr X_{\lambda_1}\subset\mathscr X_{\lambda_2}\subset\cdots$ 但整体集合有上界 $\mathscr X$, 从而一定有上界. 进而由 Zorn 引理知 $(\mathscr F,\prec)$ 存在极大元, 记为 $(\mathscr X_{\Lambda},f_\Lambda)$.

下证 $\mathscr X_\Lambda=\mathscr X$.

反证法, 如果不相等那么根据第一步可以再延拓一维从而与极大性矛盾.

所以说这个极大元就是满足条件的, 定义在整个 $\mathscr X$ 上的线性泛函.

设 $\mathscr X$ 是复线性空间, $\mathscr X_0$ 是 $\mathscr X$ 的子空间. $f_0$ 是 $\mathscr X_0$ 上的复线性泛函, $p$ 是 $\mathscr X$ 上的半范数, 满足 $|f_0(x)|\leqslant p(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$, 则存在 $f\in \mathscr X^*$ 满足:

• (1) 延拓条件: $f(x)=f_0(x)\quad (\forall x\in\mathscr X_0)$;
• (2) 受 $p$ 控制: $|f(x)|\leqslant p(x)\quad (\forall x\in\mathscr X)$.

将 $\mathscr X$ 看作实线性空间, $\mathscr X_0$ 看作 $\mathscr X$ 的实线性子空间. 令 $g_0(x)=\text{Re} f_0(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$, 则 $|g_0(x)|\leqslant p(x)$.

那么根据实 Hahn-Banach 定理存在 $\mathscr X$ 上的实线性泛函 $g$. 是由 $g_0$ 延拓并受 $p$ 控制.

定义 $f(x)=g(x)-\text{i} g(\text{i} x)$. 则 $\forall x\in\mathscr X_0$, $\begin{aligned} f(x)&=g_0(x)-\text{i} g_0(\text{i} x)=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}f_0(\text{i} x)\\ &=\text{Re} f_0(x)-\text{i} \text{Re}[\text{i} f_0(x)]=\text{Re}f_0(x)+\text{i}\text{Im}f_0(x)=f_0(x). \end{aligned}$ 又 $\forall x\in\mathscr X$ 有 $f(\text{i} x)=g(\text{i} x)-\text{i} g(-x)=\text{i} [g(x)-\text{i} g(\text{i} x)]=\text{i} f(x)$. 因此 $f$ 是复线性的. 下面验证 $f$ 受 $p$ 控制. $f(x)=0$ 时显然受 $p$ 控制.

对于 $f(x)\neq 0$ 的情形: 设 $\theta:=\theta(x)=\arg f(x)$ 便有

定义 $p(x):=\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}\Vert x \Vert\ (\forall x\in\mathscr X)$, 则 $p(x)$ 是 $\mathscr X$ 上的半范数.

根据复(实) Hahn-Banach 定理存在 $f\in\mathscr X^*$ 满足: $f(x)=f_0(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$; $|f(x)|\leqslant p(x)\ (\forall x\in\mathscr X_0)$.

由延拓条件 $\Vert f \Vert\geqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为泛函的范数是上确界, 延拓后的范围包括子空间.

由受 $p$ 控制 $\Vert f \Vert_{\mathscr X^*}\leqslant\Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$. 因为移项可得 $\dfrac{|f(x)|}{\Vert x \Vert}\leqslant \Vert f_0 \Vert_{\mathscr X_0^*}$.

令 $\mathscr X_1=\lbrace x_0+\alpha x_1:x_0\in\mathscr X_0,\alpha\mathbb{K} \rbrace$, 则 $\mathscr X_1$ 是 $\mathscr X$ 的子空间且 $\mathscr X_0\subset \mathscr X_1$.