泛函分析-徐小绪：度量空间 / 压缩映射原理

题目 #

设 $f\in L^2[a,b], K(\cdot,\cdot)\in L^2([a,b]\times [a,b])$, 证明:

$$x(t)=f(t)+\lambda\int_a^b K(t,s)x(s)\text{d} s$$

在 $|\lambda|$ 充分小时有唯一解.

题目 #

证明定理 \ref{压缩::Tn压缩}

题目 #

(Volterra 积分方程) 设 $K(\cdot,\cdot)\in C([a,b]\times[a,b])$, 证明: 对于任意的 $f\in C[a,b]$ 下列积分方程

$$x(t)=f(t)+\int_a^t K(t,s)x(s)\text{d} s$$

总有唯一解 $x\in C[a,b]$.

题目 #

设 $(\mathscr X,\rho)$ 是完备的度量空间且 $\mathscr X\neq\varnothing$. $T:(\mathscr X,\rho)\to(\mathscr X,\rho)$ 是压缩映射, 即存在 $\alpha\in(0,1)$ 使

$$\rho(Tx,Ty)\leqslant\alpha \rho(x,y)\quad(\forall x,y\in\mathscr X)$$

对任意的 $R\geqslant 0$, 定义 $A_R:=\lbrace x\in\mathscr X:\rho(x,Tx)\leqslant R\rbrace$. 证明:

• ((1)) $\text{diam} A_R\leqslant\frac{2R}{1-\alpha}$.
• ((2)) 对任意的 $R\geqslant 0$, $A_R$ 是 $\mathscr X$ 中的非空闭子集.
• ((3)) 利用闭集套定理证明压缩映射定理.