重积分

定义

设 $I_j\ (1 \leqslant j \leqslant n)$ 是 $\mathbb R$ 中的有界区间, 我们称 $I_1\times I_2\times\cdots \times I_n$ 为 $\set R n$ 中的矩形. 若 $\set R n$ 中的子集 $E$ 可表为有限多个矩形的并, 则称 $E$ 是 $\set R n$ 中的简单集合. 特别的, 空集也是简单集合.

命题

设 $E,F$ 是 $\set R n$ 中的简单集合, 则 $E\cup F,\ E \cap F, \ E\backslash F,\ E\Delta F$ 也均是 $\set R n$ 中的简单集合. 此外, 对任意的 $\bm a \in \set R n$ , $E+\bm a=\{\bm x +\bm a:\bm x \in E\}$ 是 $\set R n$ 中的简单集合.

定义

我们用 $|I|$ 来表示 $\mathbb R$ 中有界区间 $I$ 的长度, 由此我们定义 $\set R n$ 中矩形 $Q=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n$ 的体积 $|Q|$ 为

|Q|=\prod\limits_{j=1}^n |I_j|

根据这个定义知, $|Q|=|\overline{Q}|$ .

命题

设 $E$ 是 $\set R n$ 中的一个简单集合, 那么

[leftmargin=1.5cm]

(1) $E$ 可表为有限多个两两不相交的矩形的并, 并称之为 $E$ 的划分.
(2) 若 $E$ 可用如下两种方式写成互不相交的矩形的并

E=\bigcup\limits_{i=1}^m Q_i=\bigcup\limits_{j=1}^k Q_j',

则

\sum\limits_{i=1}^m |Q_i|=\sum\limits_{j=1}^j |Q_j'|.

定义

设 $E$ 是 $\set R n$ 中的一个简单集合, $E=Q_1\cup \cdots \cup Q_m$ 是 $E$ 的一个划分, 则记

\mu(E)=\sum\limits_{i=1}^m|Q_i|

并称之为的测度.

命题

设 $E,F$ 均是 $\set R n$ 中的简单集合, 则 [leftmargin=1.5cm]

(1) (有限可加性) 若 $E\cap F=\varnothing$ , 则 $\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)$ ;
(2) (单调性) 若 $E\subseteq F$ , 则 $\mu(E)\leqslant\mu(F)$ ;
(3) (次可加性) $\mu(E\cup F)\leqslant \mu(E)+\mu(F)$ ;
(4) (平移不变性) 对任意的 $\bm a\in \mathbb{R}^n$ 有 $\mu(E+\bm a)=\mu(E)$ .

定义

设 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界集, 我们称由

\mu_*(S)=\sup\{\mu(A):A\subseteq S\ \t{且}\ A\ \t{是简单集合}\}

定义的 $\mu_*(S)$ 为 $S$ 的若尔当内测度; 称由

\mu^*(S)=\inf\{\mu(B):B\supseteq S\ \t{且}\ B\ \t{是简单集合}\}

定义的 $\mu^*(S)$ 为 $S$ 的若尔当外测度.

当 $\mu_*(S)=\mu^*(S)$ 时, 则称 $S$ 为若尔当可测集, 并将这一值记作 $\mu(S)$ 称为 $S$ 的若尔当测度或容度.

特别的, 当 $\mu(S)=0$ 时, 我们称之为若尔当零测集.

命题

根据定义, 对任意的有界集 $S$ 有

\begin{equation} 0\leqslant\mu_*(S)\leqslant\mu^*(S). \end{equation}

定理

设 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界集, 则下列命题等价:

(1) $S$ 是若尔当可测集.
(2) 对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在简单集合 $A,B$ 满足 $A\subseteq S\subseteq B$ 以及 $\mu(B\backslash A)<\varepsilon$ .
(3) $\partial S$ 为若尔当零测集.

命题

设 $E,F$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的若尔当可测集, 则

(1) $E\cup F,\ E\cap F,\ E\backslash F,\ E\Delta F$ 均是 $\mathbb{R}^n$ 中的若尔当可测集.
(2) (有限可加性) 若 $E$ 和 $F$ 无公共内点, 则 $\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)$ .
(3) (单调性) 若 $E\subseteq F$ , 则 $\mu(E)\leqslant\mu(F)$ .
(3) (次可加性) $\mu(E\cup F)\leqslant \mu(E)+\mu(F)$ .
(4) (平移不变性) 对任意的 $\bm a\in \mathbb{R}^n$ 有 $\mu(E+\bm a)=\mu(E)$ .

命题

设 $K$ 是 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中的紧集, $f:K\to\mathbb{R}$ 是一个连续函数, 那么集合

S=\{(\bm x,f(\bm x)):x\in K\}

是 $\mathbb{R}^n$ 中的若尔当零测集.

练习

题目 #

设 $E,F$ 均是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界集且 $E\subseteq F$ , 证明

\mu_*(E)\leqslant\mu_*(F)\quad\t{以及}\quad\mu^*(E)\leqslant\mu^*(F).

证明

对任一的 $\varepsilon>0$ , 存在简单集合 $A$ , 满足 $A\subseteq E\wedge \mu(A)\geqslant \mu_*(E)-\varepsilon$ , 又 $A\subseteq E\subseteq F$ , $\mu_*(F)$ 是上界有 $\mu(A)\leqslant\mu_*(F)$ . 从而 $\mu_*(E)-\varepsilon\leqslant \mu(A)\leqslant\mu_*(F)$ , 再由 $\varepsilon$ 的任意性知 $\mu_*(E)\leqslant\mu_*(F)$ .

另一侧同理.

题目 #

设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界集, 并且 $E$ 只有有限多个聚点, 证明 $\mu(E)=0$ .

证明

设 $E$ 的聚点为 $\{\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_m\}$ .

$\forall\ \varepsilon>0$ , 我们取矩形列 $\{Q_j\}$ 满足 $|Q_j|=\dfrac{\varepsilon}{2m}\wedge\bm a_j\in Q_j^\circ$ .

那么考虑 $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 就应该是有限集, 否则由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 存在聚点 $\bm b$ , 但 $\bm b\notin Q_j^\circ,\ \forall j\leqslant m$ , 所以与 $E$ 的全部聚点为 $\{\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_m\}$ 矛盾, 从而 $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 是有限集, 记作 $\{\bm b_1,\bm b_2,\ldots,\bm b_n\}$ .

那么取矩形列 $\{Q_i'\}$ 满足 $|Q_i'|=\dfrac{\varepsilon}{2n}\wedge \bm b_i\in Q_i'$ . 从而 $E\subseteq\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j\cup\bigcup\limits_{i=1}^n Q_i'$ , 则有 $\mu^*(E)\leqslant\sum\limits_{j=1}^m|Q_j|+\sum\limits_{i=1}^n|Q_i'|=\varepsilon$ . 再由 $\varepsilon$ 的任意性知 $\mu^*(E)=0$ , 即 $\mu(E)=0$ .

题目 #

设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界集, 证明 $\mu^*(E)=\mu^*(\overline{E})\wedge\mu_*(E)=\mu_*(E^\circ)$ .

题目 #

把 $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 中的元素排成一列, 记作 $a_1,a_2,\ldots,a_m,\ldots,$ 又令 $\varepsilon=\frac 1 4$ . 证明集合

\bigcup\limits_{m=1}^\infty \left(a_m-\frac \varepsilon{2^m},a_m+\frac\varepsilon{2^m}\right)

是 $\mathbb{R}$ 中的一个若尔当不可测的开集, 并由此构造出一个若尔当不可测的闭集.

答案

考虑集合 $[-2,2]\backslash S$ .

定义

闭矩形上的黎曼可积.

命题

若 $f$ 在 $Q$ 上可积, 则 $f$ 在 $Q$ 上有界.

定义

达布和.

定义

设 $S\subseteq \mathbb{R}^n$ . 若对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在至多可数个开矩形 $Q_i$ , 使得

S\subseteq\bigcup\limits_{i}Q_i\quad\t{且}\quad \sum\limits_{i}|Q_i|<\varepsilon

则称 $S$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的勒贝格零测集.

命题

(1) $\mathbb{R}^n$ 中的至多可数集是 $\mathbb{R}^n$ 中的勒贝格零测集.
(2) $\mathbb{R}^n$ 中至多可数个勒贝格零测集的并仍是 $\mathbb{R}^n$ 中的勒贝格零测集.

命题

(1) 若尔当零测集是勒贝格零测集.
(2) 有界闭的勒贝格零测集是若尔当零测集.

注

因为边界集是闭集, 所以有界集 $S$ 是若尔当可测集当且仅当 $\partial S$ 是勒贝格零测集.

定理勒贝格

设 $Q$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的闭矩形, 那么定义在 $Q$ 上的有界函数 $f$ 在 $Q$ 上黎曼可积的充要条件是 $f$ 的全体间断点构成勒贝格零测集.

推论

设 $Q$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的闭矩形, $f$ 在 $Q$ 上可积.

(1) 若 $\{\bm x\in Q:f(\bm x)\neq 0\}$ 是勒贝格零测集, 则 $\int_{Q}f=0$ .
(2) 若 $f$ 非负且 $\int_{Q} f=0$ , 则 $\{\bm x\in Q:f(\bm x)\neq=0\}$ 是勒贝格零测集.

练习

题目 #

对 $1\leqslant j\leqslant n$ , 设 $f_j(x)$ 在 $[a_j,b_j]$ 上可积. 证明 $n$ 元函数 $f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_n(x_n)$ 在 $Q=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 上可积且

\underset{Q\ \ }{\int\cdots\int}f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)\text{d} x_1\cdots\text{d} x_n=\prod\limits_{j=1}^n\left(\int_{a_j}^{b_j}f_j(x)\text{d} x\right).

题目 #

设 $Q$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个闭矩形, $f:Q\to\mathbb{R}$ . 证明 $f$ 在 $Q$ 上可积且 $\int_{Q}f=A$ 的充要条件是: 对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在 $\delta>0$ , 使得 $\mathbb{R}^n$ 中两两无公共内点的若尔当可测集 $J_1,\ldots,j_k$ 只要满足

\max\limits_{1\leqslant i\leqslant k} \t{diam}(J_i)<\delta\quad\t{以及}\quad Q=\bigcup\limits_{i=1}^k J_i,

就对任意的 $\bm\xi_i\in J_i$ 有

\left|\sum\limits_{i=1}^kf(\bm\xi_i)\mu(J_i)-A\right|<\varepsilon.

定理积分中值定理

设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的若尔当可测集, $f$ 与 $g$ 在 $E$ 上可积且 $g$ 在 $E$ 上不变号. 现记 $m=\inf\limits_{\bm x\in E} f(\bm x),M=\sup\limits_{\bm x\in E} f(\bm x)$ , 那么存在 $\kappa\in[m,M]$ 使得

\int_E fg=\kappa\cdot\int_E g.

特别地, 存在 $\lambda\in[m,M]$ 使得

\int_E f=\lambda\cdot \mu(E).

练习

题目 #

定理富比尼 (Fubini) 定理

设 $Q=Q_1\times Q_2$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的闭矩形,

定义

设 $E\subseteq \set R n$ , 如果若尔当可测集列 $\{E_m\}$ 满足

E_m\subseteq E_{m+1}\ (\forall\ m \geqslant 1)\qquad \text{以及} \qquad \bigcup\limits_{m=1}^\infty E_m=E,

则称 $\{E_m\}$ 是 $E$ 的一个穷竭. 注: 该名称并不是通用的, 仅在陆亚明《数学分析入门》中使用.

定义

设 $E\subseteq \set R n, f:E\longrightarrow \mathbb R$ . 如果对 $E$ 的使得 $f$ 在每个 $E_m$ 上均可积的任意穷竭 $\{E_m\}$ , 极限

\lim\limits_{m\to\infty} \int_{E_m}f

都存在且相等, 那么我们就称 $f$ 在 $E$ 上可积, 并将上述极限值记作

\int_E f,

此时也称积分 $\displaystyle\int_E f$ 收敛. 否则就称 $\displaystyle\int_E f$ 发散, 或称 $f$ 在 $E$ 上不可积.

引理

设 $E\subseteq \set R n$ , $f$ 是定义在 $E$ 上的函数. 若存在 $E$ 的一个穷竭 $\{E_m\}$ , 使得 $f$ 在每个 $E_m$ 上均可积, 那么对于 $E$ 的任一穷竭 $\{F_k\}$ , 只要 $f$ 在每个 $F_k$ 上有界, 它就在每个 $F_k$ 上可积.

证明

考虑 $\{E_m\cap F_k:m\geqslant 1\}$ 是 $F_k$ 的穷竭. 考虑 $F_k$ 的不连续点由 $E_m\cap F_k$ 的内部的不连续点和 $\partial(E_m\cap F_k)$ 中的不连续点构成. 又 $E_m$ 可积, $E_m\cap F_k$ 若当可测. 那么就有上述两部分的点均为勒贝格零测集. 由此 $f$ 在 $F_k$ 上可积.

命题

设 $E$ 若尔当可测且 $f$ 在 $E$ 上可积, $\{E_m\}$ 是 $E$ 的一个穷竭, 那么 $\lim\limits_{m\to\infty}\mu(E_m)=\mu(E)$ 并且

\lim\limits_{m\to\infty} \int_{E_m} f = \int_E f.

命题

设 $E\subseteq \set R n,f:E\longrightarrow \set R n$ 是一个非负函数, 那么 $\displaystyle{\int_E f}$ 收敛的充要条件是: 存在 $E$ 的穷竭 $\{E_m\}$ 使得 $f$ 在每个 $E_m$ 上均可积, 并且极限

\lim\limits_{m\to\infty}\int_{E_m} f

存在.

命题

(比较判别法) 设 $E\subseteq \set R n,\ f$ 与 $g$ 均是定义在 $E$ 上的非负函数并且

f(x)\leqslant g(x),\quad \forall x\in E.

又设存在 $E$ 的穷竭 $\{E_m\}$ 使得 $f$ 与 $g$ 均在每个 $E_m$ 上可积. 如果 $\displaystyle{\int_E g}$ 收敛, 那么 $\displaystyle{\int_E f}$ 也收敛.

命题

设 $E$ 是 $\set R n$ 的一个无界子集, $f$ 是定义在 $E$ 上的非负函数. 又设对任意的 $m\geqslant 1,\ B(\bm 0,m)\cap E$ 均是若尔当可测集且 $f$ 在其上可积. 此外, 还设存在常数 $p>n$ , 使得 $\displaystyle{\frac{1}{|\bm x|^p}}$ 在 $(E\cap B(\bm 0,m))\backslash B(\bm 0,1)\ (m\geqslant 1)$ 上可积, 并且当 $|\bm x|$ 充分大时有

f(\bm x)<<\frac{1}{|\bm x|^p},

那么 $\displaystyle{\int_E f}$ 收敛.

命题

设 $E$ 是 $\set R n$ 中的有界集, $f$ 是定义在 $E$ 上的非负函数, 且 $\bm x_0 \in \partial E$ 是 $f$ 的唯一奇点. 又设对任意的 $m\geqslant 1,\ E\backslash B(\bm x_0,\frac 1 m)$ 均是若尔当可测集且 $f$ 在其上可积, 此外, 还假设存在常数 $p<n$ , 使得函数 $\dfrac{1}{|\bm x-\bm x_0|^p}$ 在 $E\backslash B(\bm x_0,\frac 1 m)\ (m\geqslant 1)$ 上可积, 并且当 $\bm x \to \bm x_0\ (\bm x \in E)$ 时有

f(\bm x)<<\frac{1}{|\bm x-\bm x_0|^p},

那么 $\displaystyle{\int_E f}$ 收敛.

引理

设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ , $f$ 与 $g$ 是定义在 $E$ 上的非负函数. 如果 $\displaystyle \int_E f$ 与 $\displaystyle\int_E g$ 均收敛, 那么 $\displaystyle\int_E f+g$ 也收敛且

\int_E f+g = \int_E f+\int_E g.

命题

设 $E\subseteq \mathbb{R}^n,\ f:E\longrightarrow\mathbb{R}$ . 如果 $\displaystyle\int_E f$ 收敛, 那么 $\displaystyle\int_E |f|$ 也收敛.

命题

设 $E,F\subseteq\mathbb{R}^n$ , 函数 $f$ 在 $E\cup F$ 上有定义, $g$ 在 $E$ 上有定义.

[leftmargin=1.5cm]

(1) 若 $\int_{E}f$ 收敛, 则对任意的 $a\in\mathbb{R}$ , $\int_{E} af$ 收敛, 且

\int_{E} af=a\int_{E} f.

(2) 若 $\int_{E} f$ 和 $\int_{g}$ 均收敛, 则 $\int_{E}(f+g)$ 也收敛, 且

\int_{E}(f+g)=\int_{E} f+\int_{E} g.

(3) 若 $E$ 和 $F$ 无公共内点, 且 $\int_{E} f$ 与 $\int_{F} f$ 均收敛, 则 $\int_{E\cup F} f$ 收敛, 且

\int_{E\cup F} f = \int_E f+\int_F f.

定理

设 $E\subseteq \mathbb{R}^n,\ f:E\longrightarrow\mathbb{R}$ , 那么 $\int_{E} f$ 收敛当且仅当 $\int_{E} |f|$ 收敛.

注

此处重积分与一元反常积分略有差异, 在本节定义 \ref{反常重积分定义} 中需针对任意穷竭, 对应到一元中其实就是在考虑黎曼重排, 而一元中仅仅是条件收敛, 即意味着可以黎曼重排使极限为任意值时, 在本节定义 \ref{反常重积分定义} 下是发散的. 而当一元情形是绝对收敛的, 在该定义下才是收敛的, 故在多元中收敛与绝对值收敛等价.

定理

设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, $\varphi:E\longrightarrow\varphi(E)$ 是一个连续可微的双射, 并且对任意的 $\bm x \in E$ 而言 $\varphi'(\bm x)$ 均非奇异. 又设定义在 $\varphi(E)$ 的函数 $f$ 在 $\varphi(E)$ 的任一若尔当可测紧子集上可积. 那么当

\int_{\varphi(E)} f\quad\text{与}\quad\int_{E}(f\circ \varphi)|\det \varphi'|

中有一个收敛时, 另一个必收敛, 且有

\int_{\varphi(E)} f=\int_{E}(f\circ \varphi)|\det \varphi'|

若尔当测度 #

简单集合的测度 #

若尔当测度 #

题目 #

题目 #

题目 #

题目 #

闭矩形上的积分 #

题目 #

题目 #

有界集上的积分 #

题目 #

富比尼定理 #

变量替换## 反常重积分 #

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