离散数学：第五次作业

$\forall\ x\in S,\ x*x^2=x^2*x\Rightarrow x^=x$

$\forall\ a,b\in X,\ h(x)h(y)=f_1(x)\oplus f_2(x)\oplus f_1(y)\oplus f_2(y)=f_1(x)\oplus f_1(y)\oplus (f_2(x)\oplus f_2(y))=f_1(xy)\oplus f_2(xy)=h(xy)$.

$\forall x,y,z\in \mathbb R,x*y*z=(x+y+xy)*z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz,\ x*(y*z)=x*(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+yz$.

幺元是 $0$. $\forall x\in \mathbb R,0*x=0+x+0x=x,x*0=x+0+x0=x$.

故 $<\mathbb R,*>$ 是半群.

先取 $x=a$, 设 $ab_1=b_2a=a$.

再取 $x=b_1$, 设 $b_1=au$ 同左乘 $b_2$ 得 $b_2b_1=b_2au=au=b_1$.

再取 $x=b_2$, 设 $b_2=va$ 同右乘 $b_1$ 得 $b_2b_1=vab_1=va=b_2$.

故得到 $b_1=b_2$ 记作 $b$, 即 $ab=ba=a$.

下面验证 $b$ 是幺元.

$\forall\ x\in S,$ 设 $x=au=va$ 则有 $bx=bau=au=x,xb=vab=va=x$.

故 $b$ 是幺元.

设 $y=f(x)\in Y$ 则 $y*y=f(x)*f(x)=f(x^2)=f(x)=y$ 故 $y$ 是 $Y$ 的幂等元.

先证必要性, $H_1H_2$ 是 $G$ 的子群, $\forall h_1h_2\in H_1H_2,(h_1h_2)^{-1}\in H_1H_2,\Rightarrow\exists h_1'h_2'=(h_1h_2)^{-1},\Rightarrow h_1h_2=(h_1'h_2')^{-1}=h_2'^{-1}h_1'^{-1}\in H_2H_1\Rightarrow H_1H_2\subseteq H_2H_1$.

又 $\forall\ h_2h_1\in H_2H_1,h_1^{-1}h_2^{-1}\in H_1H_2\Rightarrow (h_1^{-1}h_2^{-1})^{-1}\in H_1H_2\Rightarrow h_2h_1\in H_1H_2\Rightarrow H_2H_1\subseteq H_1H_2$.

综上 $H_1H_2=H_2H_1$.

下证充分性, $\forall h_1h_2,h_3h_4\in H_1H_2$ 对于 $(h_3h_4)^{-1}=h_4^{-1}h_3^{-1}$ 存在 $h_3'h_4'=(h_3h_4)^{-1},h_3'\in H_1,h_4'\in H_2$.

则 $h_1h_2(h_3h_4)^{-1}=h_1h_2h_3'h_4'$, 对于 $h_2h_3$ 存在 $h_3''\in H_1,h_2''\in H_2,h_2h_3=h_3''h_2''$.

即 $h_1h_2h_3'h_4'=(h_1h_3'')(h_2''h_4'),h_1h_3''\in H_1,h_2''h_4\in H_2\Rightarrow h_1h_2(h_3h_4)^{-1}\in H_1H_2$ 故 $H_1H_2$ 是 $G$ 的子群.

$\forall\ x,y\in X,\ yH=Hy\Rightarrow H=y^{-1}Hy\Rightarrow Hy^{-1}=y^{-1}H\Rightarrow y^{-1}\in X$, 又 $xy^{-1}H=x(y^{-1}H)=x(Hy^{-1})=(xH)y^{-1}=H(xy^{-1})\Rightarrow xy^{-1}\in X$

故 $X$ 是 $G$ 的子群.