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数学 实变函数 集合与点集

点集

(i) 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 ) 的并集 (ii) 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

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实变函数集合与点集
本页目录3 节

RnR^n 中的点集 #

定义 二进方体

首先将 Rn\mathbb{R}^n 用格点(坐标皆为整数)分为可列个边长为 11 的半开闭方体, 其全体记为 Γ0\Gamma_0。再将 Γ0\Gamma_0 中每个方体的每一边二等分, 则每个方体就可分为 2n2^n 个边长为 12\frac{1}{2} 的半开闭方体, 记 Γ0\Gamma_0 中如此做成的子方体的全体为 Γ1\Gamma_1。继续按此方法二分下去, 可得其所含方体越来越小的方体族组成的序列 {Γk}\{\Gamma_k\}, 这里 Γk\Gamma_k 中每个方体的边长是 2−k2^{-k}, 且此方体是 Γk+1\Gamma_{k+1} 中相应的 2n2^n 个互不相交的方体的并集. 我们称如此分成的方体为二进方体.

定理
  • (i) R\mathbb{R} 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 ∞\infty) 的并集.
  • (ii) Rn\mathbb{R}^n 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集.
引理

Rn\mathbb{R}^n 中点集 EE 的任一开覆盖 Γ\Gamma 都含有一个可数子覆盖.

Borel 集 #

定义 Fσ、Gδ 集

若 E⊂RnE\subset\mathbb{R}^n 是可数个闭集的并集, 则称 EE 为 FσF_\sigma 集; 若 E⊂RnE\subset \mathbb{R}^n 是可数个开集的交集, 则称 EE 为 GδG_\delta 集.

注

有定义可以直接得到, FσF_\sigma 集的补集是 GδG_\delta 集, 反之亦然.

定义 σ-代数

设 Γ\Gamma 是由集合 XX 的一些子集所构成的集合族且满足下述条件: [(i)]

  • ∅∈Γ\varnothing \in \Gamma;
  • 若 A∈ΓA \in \Gamma, 则 Ac∈ΓA^c \in \Gamma;
  • 若 An∈ΓA_n \in \Gamma (n=1,2,⋯n=1,2,\cdots), 则 ⋃n=1∞An∈Γ\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma.

这时称 Γ\Gamma 是一个 σ\sigma-代数 (sigma-algebra).

性质

由定义立即可知下述事实:

[(i)]

  • 若 An∈ΓA_n \in \Gamma (n=1,2,⋯ ,mn=1,2,\cdots,m), 则 ⋃n=1mAn∈Γ\bigcup\limits_{n=1}^{m} A_n \in \Gamma;
  • 若 An∈ΓA_n \in \Gamma (n=1,2,⋯n=1,2,\cdots), 则
⋂n=1∞An∈Γ,lim‾⁡n→∞An∈Γ,lim‾⁡n→∞An∈Γ;\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma,\quad \varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n \in \Gamma,\quad \varliminf\limits_{n \to \infty} A_n \in \Gamma;
  • 若 A,B∈ΓA,B \in \Gamma, 则 A∖B∈ΓA \setminus B \in \Gamma;
  • X∈ΓX \in \Gamma.

例题 #

例 P40 例10

记 Rn\mathbb{R}^n 中全体有理点为 {rk}\{r_k\}, 则有理点集

⋃k=1∞{rk}\bigcup\limits_{k=1}^\infty\{r_k\}

为 FσF_\sigma 集.

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