实变函数 / 集合与点集 / 点集

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$R^n$ 中的点集 #

definition

首先将 $\mathbb{R}^n$ 用格点(坐标皆为整数)分为可列个边长为 $1$ 的半开闭方体, 其全体记为 $\Gamma_0$。再将 $\Gamma_0$ 中每个方体的每一边二等分, 则每个方体就可分为 $2^n$ 个边长为 $\frac{1}{2}$ 的半开闭方体, 记 $\Gamma_0$ 中如此做成的子方体的全体为 $\Gamma_1$。继续按此方法二分下去, 可得其所含方体越来越小的方体族组成的序列 $\{\Gamma_k\}$, 这里 $\Gamma_k$ 中每个方体的边长是 $2^{-k}$, 且此方体是 $\Gamma_{k+1}$ 中相应的 $2^n$ 个互不相交的方体的并集. 我们称如此分成的方体为二进方体.

tip

• (i) $\mathbb{R}$ 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 $\infty$) 的并集.
• (ii) $\mathbb{R}^n$ 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集.

tip

$\mathbb{R}^n$ 中点集 $E$ 的任一开覆盖 $\Gamma$ 都含有一个可数子覆盖.

Borel 集 #

{{< admonition definition “定义 $F_\sigma,\ G_\delta$ 集” true >}} 若 $E\subset\mathbb{R}^n$ 是可数个闭集的并集, 则称 $E$ 为 $F_\sigma$ 集; 若 $E\subset \mathbb{R}^n$ 是可数个开集的交集, 则称 $E$ 为 $G_\delta$ 集.

info

有定义可以直接得到, $F_\sigma$ 集的补集是 $G_\delta$ 集, 反之亦然.

{{< admonition definition “定义 $\sigma$-代数” true >}}

设 $\Gamma$ 是由集合 $X$ 的一些子集所构成的集合族且满足下述条件: [(i)]

• $\varnothing \in \Gamma$;
• 若 $A \in \Gamma$, 则 $A^c \in \Gamma$;
• 若 $A_n \in \Gamma$ ($n=1,2,\cdots$), 则 $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma$.

这时称 $\Gamma$ 是一个 $\sigma$-代数 (sigma-algebra).

abstract

由定义立即可知下述事实:

[(i)]

• 若 $A_n \in \Gamma$ ($n=1,2,\cdots,m$), 则 $\bigcup\limits_{n=1}^{m} A_n \in \Gamma$;
• 若 $A_n \in \Gamma$ ($n=1,2,\cdots$), 则

$$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma,\quad \varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n \in \Gamma,\quad \varliminf\limits_{n \to \infty} A_n \in \Gamma;$$

• 若 $A,B \in \Gamma$, 则 $A \setminus B \in \Gamma$;
• $X \in \Gamma$.

例题 #

example

记 $\mathbb{R}^n$ 中全体有理点为 $\{r_k\}$, 则有理点集

$$\bigcup\limits_{k=1}^\infty\{r_k\}$$

为 $F_\sigma$ 集.