依测度收敛与平均收敛

给出切比雪夫不等式的一般形式，并由二次函数情形得到基于方差的概率上界。

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依测度收敛与平均收敛 #

定理 Chebyshev 不等式

设 $g(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的非降的非负值函数, 如果对随机变量 $Y$ , 有 $\mathrm{E} g(|Y|)<+\infty$ , 则对任何使得 $g(a)>0$ 的 $a>0$ , 都有

\mathrm P (|Y|\geqslant a)\leqslant \frac{\mathrm Eg(|Y|)}{g(a)}.

特别的, 选取 $g(x)=x^2$ , 可以得到

\mathrm P (|Y-\mathrm E Y|\geqslant x)\leqslant\frac{\var Y}{x^2},\quad \forall x>0.

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