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概率论：极限定理 / 依测度收敛与平均收敛

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依测度收敛与平均收敛 #

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设 g(x)g(x) 是定义在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的非降的非负值函数, 如果对随机变量 YY, 有 Eg(∣Y∣)<+∞\mathrm{E} g(|Y|)<+\infty, 则对任何使得 g(a)>0g(a)>0 的 a>0a>0, 都有

P(∣Y∣⩾a)⩽Eg(∣Y∣)g(a).\mathrm P (|Y|\geqslant a)\leqslant \frac{\mathrm Eg(|Y|)}{g(a)}.

特别的, 选取 g(x)=x2g(x)=x^2, 可以得到

P(∣Y−EY∣⩾x)⩽\varYx2,∀x>0.\mathrm P (|Y-\mathrm E Y|\geqslant x)\leqslant\frac{\var Y}{x^2},\quad \forall x>0.

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