偏微分方程：第 1 次作业

1 #

试证明圆锥形杆的微小纵振动方程是

$$\rho \left( 1 - \tfrac{x}{h} \right)^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = E \, \frac{\partial}{\partial x} \left[ \left( 1 - \dfrac{x}{h} \right)^{2} \frac{\partial u}{\partial x} \right],$$

其中 $h$ 是圆锥的高, $\rho, E$ 分别是它的密度与杨氏模量, 且 $\rho, E$ 为常数.

2 #

$f,g\in C(\Omega)$, $\forall D \subset \Omega$, $\int_D f=\int_D g$. 证明: $f\equiv g$.

3 #

若 $f\in C(\overline{\Omega})$, $\int_\Omega fg=0,\ \forall g\in C_0^k(\overline{\Omega})$ ($C_0^k$ 表示在边界上为 0, k 阶连续可导). 证明: $f\equiv 0$.

4 #

求解变分问题: 求 $u \in M = \{ y(x) \mid y \in C^1[0,1], \, y(1) = 0 \}$, 使得

$$J(u) = \min_{y \in M} J(y),$$

其中

$$J(y) = \dfrac{1}{2} \int_0^1 (y'(x))^2 \, \text{d} x - 2 \int_0^1 y(x) \, \text{d} x - y(0).$$

5 #

求 $u \in M = C^1[0,1]$, 使得

$$J(u) = \min_{y \in M} J(y),$$

其中

$$J(y) = \dfrac{1}{2} \int_0^1 \bigl( (y')^2 + y^2 \bigr) \text{d} x + \dfrac{1}{2} \bigl[ y^2(0) + y^2(1) \bigr] - 2y(0).$$

6 #

设

$$J(v) = \frac{1}{2} \int_\Omega \bigl( |\nabla v|^2 + v^2 \bigr) \text{d} x + \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} \alpha(x) v^2 \, \text{d} s - \int_\Omega f v \, \text{d} x - \int_{\partial \Omega} g v \, \text{d} s,$$

其中 $\alpha(x) \geqslant 0$. 考虑以下三个问题:

问题 I（变分问题） #

求 $u \in M = C^1(\overline{\Omega})$, 使得

$$J(u) = \min_{v \in M} J(v).$$

问题 II #

求 $u \in M = C^1(\overline{\Omega})$, 使得它对于任意 $v \in M$ 都满足

$$\int_\Omega \bigl( \nabla u \cdot \nabla v + u v - f v \bigr) \text{d} x + \int_{\partial \Omega} \bigl( \alpha(x) u v - g v \bigr) \text{d} s = 0.$$

问题 III（第三边值问题） #

求 $u \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$, 满足以下边值问题

$$\begin{cases} -\Delta u + u = f, & x \in \Omega, \\[6pt] \dfrac{\partial u}{\partial n} + \alpha(x) u = g, & x \in \partial \Omega. \end{cases}$$

(1) 证明问题 I 与问题 II 等价.

(2) 当 $u \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$ 时, 证明问题 I, II, III 等价.

7 #

用特征线性法求解下述 Cauchy 问题:

• (1) $\begin{cases} u_t+2u_x=0, & t>0,-\infty<x<\infty \\ u|_{t=0}=x^2, & -\infty<x<\infty; \end{cases}$
• (3) $\begin{cases} 2u_t=u_x-xu, & t>0,-\infty<x<\infty \\ u|_{t=0}=2xe^{x^2/2}, & -\infty<x<\infty; \end{cases}$