归档

围绕群、环、域与模组织抽象代数笔记，并给出适合连续阅读的入口。

从群作用出发整理轨道、稳定子、类方程与 Burnside 引理之间的关系。

用特征线方法求解一阶线性偏微分方程，并整理初值条件的处理过程。

Hahn-Banach 定理的实形式、复形式及其在线性泛函延拓中的作用。

2024 暑期牛客多校训练营第十场题解，记录建模、推导与 C++ 实现。

线性表抽象数据类型的顺序与链式实现，包含 C++ 接口、复杂度和边界处理。

为什么 nan2inf.cn 从静态页面和小后端面开始。

一种不依赖重型 WebGL 的技术页面轻量视觉语言。

一则关于如何在 MDX 中保持定义、命题和证明草图可读的小笔记。

记录行内公式、行间公式与兼容写法在网页阅读中的排版边界。

一则关于为什么个人工具后端的后台任务应当基于白名单的小笔记。

整理 Ascend 竞赛、性能优化与榜单系统中值得长期保留的实现记录。

以 Astro 静态内容为主体、Django 小后端为补充的个人知识站。

语言模型的重要意义，有哪些语言模型 unigram bigram计算。

一、简答（40’，每个8’） 1. HMM和BMM方法的定义，以及两者的主要区别。

语言模型是什么？有什么常见的语言模型？ 简单计算 unigram, bigram。

Bi-directional MM: 双向最大匹配算法。

NLP中关于「词义」的主题笔记。

NLP中关于「机器翻译」的主题笔记。

计算机视觉的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

系统整理图像滤波、特征提取、分割、几何与深度学习等计算机视觉核心主题。

围绕二维卷积、互相关和滤波复杂度展开的理论推导与图像处理实验。

Inside-Outside（内外）算法的问题 计算速度慢 每次迭代的时间复杂度为 ，其中 ， 表示文法中非终结符的数量。 容易陷入局部最优 Charniak 指出，在每一次试验中，算法往往会收敛到不同的局部最大值。

自然语言处理中的格语法与语义角色标注主题索引。

{pages/NLP/23年} {pages/NLP/24年} {pages/NLP/25年}。

面向任务的人机交互, 大概由什么样的内容组合 (1) 人际交流是人类社会的一个主要特征, 是推动人类社会向前发展的重要动力 (2) 自然语言是人际交流的主要工具之一 (3) 对话是使用自然语言进行人际交流的主要方式之一。

昇腾开发板的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

1. 掌握图像的参数化几何变换原理 2. 掌握图像的前向变换与逆向变换 3. 掌握图像的下抽样原理以及图像的内插方法原理 4. 掌握图像的高斯金字塔与拉普拉斯金字塔表示原理 前向变换: ; 存在问题 不一定是整数 逆向变换: ; 存在问题 不一定可逆. 且逆变换也不一定是整数。

1. 计算基于高斯一阶微分的图像梯度（幅值图与方向图）, 分析高斯方差对图像梯度的影响。

软件: 华谷动力相机驱动, python (环境如下)。

以 的检测窗口为例, cell 大小为 , block 为 , 则窗口内 HOG 特征维度为。

从离散信号与卷积出发，整理均值、中值、高斯、可分离和双边滤波的基本方法。

NLP中关于「文本分类」的主题笔记。

NLP中关于「信息检索」的主题笔记。

目标: 给定词串 , 计算概率 , 表示这个词序列在自然语言中出现的概率 (合理性)。

几何变换 为什么需要缩放? 远处的物体看起来小，近处的物体看起来大 需要识别不同尺度的物体（尺度不变性） 将图像调整到相同大小有助于识别。

NLP的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

确定 Petersen 图的独立数 (independent number, 最大独立集的大小)、团数 (clique number, 最大团的大小) 和染色数。

确定下列命题的真假 a) 任意非连通图都有一个孤立顶点 b) 一个图是连通的当且仅当它的某个顶点与其他所有顶点是连通的 c) 任意闭合迹的边集可以划分成若干个环的边集 d) 如果图中有一个极大迹不是闭合的, 则其端点的度是奇数。

证明或证伪: 如果 是仅有的两个度数为奇数的点, 那么存在一条 -path。

证明: 存在一个 -顶点的竞赛图使得其中每个顶点的入度等于出度当且仅当 是奇数。

10. 若 在 上绝对连续, 那么 在 上几乎处处可微。

收录实变函数往年期末试题与解答，涵盖测度、收敛、积分和有界变差函数。

在准备 级强基抽象代数期末考试前, 按照对张强老师往年题的观察应该会考察 阶群是否可解, 是否为单群 由于证明过程过为复杂, 故写下本部分作为记录。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

求 使得 4pt] u=, x {cases} 3pt] u(x,0)=(x),\ ut(x,0)=(x), -<x<+ {cases}。

介绍变分问题的允许函数类、必要条件，并讨论极小曲面与膜平衡问题。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

根据下极限的定义, 存在一个子列 使得 又 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 . 再使用 Fatou 引理。

补充可测性的等价刻画、简单函数运算、依测度收敛与 Riesz 逆定理。

利用 Holder 不等式 再对上式开 次根号即可得到。

常微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

数理统计中关于「常用分布」的主题笔记。

数理统计中关于「常用离散分布」的课程笔记。

抽象代数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

收录 2020 至 2023 级抽象代数期末回忆题及参考解答，涉及群、环、域与多项式等内容。

一维热传导方程初值问题 若 , 那么积分 有意义, 称其为 的 Fourier 变换, 记作。

我们采用“最大边优先”的词典序：比较两棵树 时，先比较 ；若相等，再比较 ，依此类推。

整理单调函数几乎处处可微与单调函数列逐项微分的两个基本定理。

数学分析中关于「导数的应用」的主题笔记。

(i) 中非空开集是可数个互不相交的开区间 (端点包括 ) 的并集 (ii) 中非空开集是可列个互不相交的半开闭方体的并集。

设函数 在有界闭区间 有定义. 若存在实数 使得对任意的 ，均存在 ，其对满足 的任意分点 及任意的 均有。

梯度算子, 对每一分量求偏导的向量 eg 散度, 理解为 , 即先算梯度再做点积, eg {curl} 旋度, 理解为 , 即先算梯度, 再做叉积 拉普拉斯算子, 针对空间变量, 对每一维的二阶偏导求和。

[Bernoulli]{Bernoulli 方程} [Riccati]{Riccati 方程} [平衡点]{平衡点}。

抽象代数中关于「定理表」的主题笔记。

[简单曲线]{简单曲线} [第一型曲线积分]{第一型曲线积分} [R3光滑曲线段]{ 上的光滑曲线段} [格林公式]{格林公式}。

泛函分析中关于「定理表」的主题笔记。

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间)。

生成子图 (spanning subgraph): 点集为 的子图。

介绍度量空间、距离函数及其基本性质，并结合典型问题整理度量的验证方法。

从可微、方向导数和雅可比矩阵出发，整理链式法则、有限增量定理、反函数定理和隐函数定理。

从欧氏空间中的开闭集、紧致性与连通性出发，整理多元函数极限、连续映射及其基本判别定理。

阶方程的一般形式 当 时, 统称为高阶微分方程. 一般的 阶微分方程的通解含有 个独立的任意常数 更一般的, 设未知函数 及其直到 阶导数均不显含, 即形如。

数学分析中关于「反常积分」的主题笔记。

泛函分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

令 是 在 度量下的完备化空间 证明 (1) 是 中的列紧集 (2) 是 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理)。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

设有定义在 上的非负可测函数渐升列 且有 , 则。

介绍非线性高阶方程的一阶系统化、自治与非自治系统、相空间、平衡点及 Lyapunov 稳定性，并附练习。

复变函数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

1. 求下列复数 的模 与辐角的主值 (1) (2)。

复变函数中关于「2」的习题与证明。

复数及其运算, 共轭复数, 复数的模等定义与高中相同。

数理统计中关于「复随机变量」的课程笔记。

时间的主导来自一次全局排序与 Kruskal；其余操作为线性或近线性。

的左垂直 是 的闭子空间; 的右垂直 是 的闭子空间。

概率论的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

10. 若 为随机事件, 说明下列各关系式的概率意义。

将样本空间 的一些子集所构成的类 叫做事件 域, 仅当它满足如下三条规定 (1) (2) 只要 , 就有 (3) 只要 , 就有。

常用变换 (1) 平移变换: 线性函数 其中 为常数, 这个函数把所有点向 方向, 平移 的距离 (2) 相似变换: 线性函数 , 其中 (3) 旋转变换: 线性函数 , 其中 (4) 任何一个线性函数 都可以表示为平移、旋转和相似变换的复合 (5) 分式线性变换。

若对任意的 和 , 存在 , 使得 . 则称 是 中的稠密子集。

高等代数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

本质上就是初等数学中的消元法, 但是规范了求解步骤, 便于编写计算机程序。

由于高维的 [Duhamel]{Duhamel 原理}也成立, 故我们只考虑 的情形. 采用球面平均法。

整理第二共轭空间的自然嵌入、自反空间、共轭算子的性质与练习。

数学分析中关于「含参变量的积分与反常积分」的主题笔记。

数学分析中关于「函数列与函数项级数」的主题笔记。

从环同态、理想和商环出发，整理整环、高斯整数与分式域的基本构造。

介绍一维波动方程混合问题及其广义解的积分恒等式定义。

与波动方程的区别在于此时 对应的 ODE 是一阶的, 故解是指数函数而不是三角函数。

数学分析中关于「积分表」的主题笔记。

完全图 (complete graph): 简单图, 任意两点间有边。

整理 Laplace 方程的基本解、Green 公式与解的积分表示。

复数中极限定义与实数有区别, 因为复数是在二维平面内, 所以其极限可以从任意方向逼近. 可以类比 中的极限, 但并不完全一样。

整理极小曲面问题所需的光滑试验函数、逼近核与基本引理。

设满足 , 则 不能在 内达到它在 上的非负最大值。

设 且满足 , 则 在 上的最大值必在 的抛物边界 上达到, 即。

整理集合的基本运算、De Morgan 法则、集合列极限及上下极限。

本文针对单点度限制下的词典序最小生成树问题，提出了一种基于 Kruskal 构造初始最小生成森林； 一类/二类边的划分与优先级排序； 离线“指派”技术快速确定被替换的边。

介绍拓扑空间与度量空间中的紧集，并整理紧性的基本性质及证明。

概率论中关于「矩与分位数」的课程笔记。

由 , 取 , 存在 , 使得满足 的任意有限个不相交的区间有 考虑取正整数 满足 , 那么可以将 分为 个区间 , 则 . 而在每个小区间上, 由于区间长度小于 , 从而对任意分划, 有总长度满足绝对连续于是 , 从而有 . 即。

整理可测函数的定义、基本闭包性质以及二元函数可测性的典型证明。

整理可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛与相关判别结果。

整理 Lusin 定理及其证明，说明可测函数如何在删去小测度集合后表现为连续函数。

整理 Lebesgue 可测集的定义、可测集类性质及测度的连续性。

由 是开集, 所以 , 存在 , 使得 , 于是 . 从而。

若 , 则对任给 , 存在 上具有紧支集的连续函数 , 使得。

{可解群, 单群, Jordan-Holder 定理}。

离散数学的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

设 和 是从集合 到 得二元关系, 证明 [leftmargin=1.5cm] (1) (2)。

设 的生成元为 , 同态为 , 那么 . 从而 . 即 中的所有元素都可以表示成 的整数次幂, 进而 是循环群。

离散数学中关于「第七次作业」的主题笔记。

非空, 则 取 $ (a,b) R {R} (a,b) R (a,b) {R} \\ (a,b) R (b,a) R a=b $ 由此说明 中只有对角线可能非零, 即非零元素个数不超过 (1) 真 (2) 假, 取 不是反自反的 (3) 假, 取 (4) 假, 取 (5) 假, 取。

[leftmargin=1.5cm] (1) 单射 (3) 都不是 (5) 双射 (7) 都不是。

(1) 是 (3) 是 (5) 不是 (7) 是 (9) 是。

[leftmargin=1.5cm] (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)。

梳理列紧、完全有界、有限网与可分性的关系，并附相关证明和练习。

介绍环上的左模与右模、子模、商模、模同态及同态基本定理，并整理自由模、基和秩。

整理内积与 Hilbert 空间的基本结构、常用不等式、极化恒等式和同构。

作变量替换 易知 也就是说第一型欧拉积分具有对称性。

偏微分方程的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

试证明圆锥形杆的微小纵振动方程是 其中 是圆锥的高, 分别是它的密度与杨氏模量, 且 为常数。

试求解初值问题： 2pt] u{t=a x}=u0(x), & -<x<,\。

2pt] u{t=0}=(x), & -<x< {cases}。

围绕半无界热传导、分离变量、边界条件和解的导数估计整理第 4 次作业。

整理热方程的最大值原理、唯一性与能量估计，以及典型区域 Green 函数练习。

求圆 上满足以下边条件的调和函数 (其中 A, B 常数) (1) (2) (3)。

4pt] { u}{ n}+(x)u{1}=1 u{2}=2 {cases}。

4pt] u(0)=u(1)=0 {cases}。

围绕 Harnack 定理、调和函数与极值原理整理的偏微分方程习题与证明。

整理光滑曲面的面积、一型与二型曲面积分、曲面定向，以及高斯公式和斯托克斯公式。

系统整理曲线弧长、一型与二型曲线积分、格林公式及其在调和函数中的应用。

利用上确界讨论实数集的聚点，证明两个互补非空子集中至少一方含有另一方的聚点。

如果群 的子群 满足: , 有 那么称 是 的正规子群, 记作。

给出群同构于两个子群直积的判定条件，并说明其与集合乘积可交换条件的区别。

系统整理群作用、忠实作用与 Cayley 定理，推导轨道-稳定子定理、类方程和 Burnside 引理，并讨论 p-群应用。

偏微分方程中关于「热传导」的课程笔记。

介绍商空间的等价类、线性运算、商范数、完备性与自然同态。

对于任意的正整数列 满足 , 那么有 种有标号树, 满足第 个节点的度数恰好为。

实变函数的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

P11/1: 试证明: 设 以及 都是定义在 上的实值函数, 且有 则对 , 有。

P218/8: 试证明 当且仅当存在 上的递增函数 , 使得。

P232:3-4; P242-243:9-11, 17-20。

P54/5: 试作开圆盘 与闭圆盘 之间的一一对应。

P71/3: 设 . 若对任意的 , 存在开球 , 使得 , 试证明。

P94/8,9,11,12,13;P107/1,2,3。

整理可测函数的复合、导函数可测性与有界逼近等第 5 次作业。

整理可测函数列、几乎处处收敛及相关测度判别的第 6 次作业。

P189/2: 设 在 上非负可积, , 且 存在, 试证明存在积分。

整理非负可积函数、幂函数可积性与积分估计等第 8 次作业。

P159/2: 试证明函数列 在 不是依测度收敛于 的。

设 和 是统一概率空间 中的两个事件, 如果有 则称事件 和事件 相互独立。

数理统计的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

数学分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

数值分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

1、已知准确值 , 则近似值: 有\\\\位有效数字, 有\\\\位有效数字。

题目源自《数学分析入门》习题 15.6 题目 11-15。

整理随机变量方差的计算与线性变换性质，给出切比雪夫不等式及零方差的刻画。

概率论中关于「随机现象和随机事件」的课程笔记。

这部分内容详见数学分析-多元函数极限- 中的点集, 将复平面对应到 , 并用复数的模长代表距离。

数理统计中关于「特征函数」的课程笔记。

介绍集合的特征函数与狄利克雷函数，记录二者的定义和基本表示。

介绍条件概率及乘法定理，并推导全概率公式与贝叶斯公式。

介绍统计量与抽样分布，重点整理样本均值的期望、方差、特征函数和常见总体下的分布。

设 为取自某个总体的样, 则它关于样本均值 的平均偏差平方和 称为样本方差. 其算数根 为样本标准差。

图论与组合的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

令 是一个图 a 证明: 是一棵树当且仅当 是连通的且每条边都是割边 b 证明: 是一棵树当且仅当添加任一条以 中的顶点为端点的边恰好生成一个环。

首先连续的三条边至少有一条在极大匹配中, 不然一定可以将中间那条边加入到匹配中构成更大的一个匹配。

整理边连通度、Menger 定理、二分图匹配与点覆盖、最大流最小割等第 4 次作业。

在圆周上放置 个点, 其中 . 令 为将每个点与两个方向上与它最近的 个点相连得到的 -正则图. 例如, , 如下图所示. 证明: 当 能被 整除时, ；当 不能被 整除时, . 证明 时有 , 由此证明上面结论中 的下界不能被削弱。

平面上(或空间中)的一个变换 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry)。

介绍 Lebesgue 外侧度、L-覆盖及其基本性质，并结合例题说明外侧度的计算与估计。

如果 还是满射, 则称两个度量空间 , 等距同构。

未知. 写出一个完备统计量{{2cm}}, 一个枢轴量{{2cm}}。

常微分方程中关于「微分方程组」的主题笔记。

偏微分方程中关于「位势」的课程笔记。

无向连通图 ，其中 、； 每条边 的权值 ，且互不相同； 一个整数 （），要求最终生成树中顶点 的度数恰好为 。 一棵生成树 ，满足： ； 若记 的边权升序为。

本课程只研究截断误差和舍入误差 设 为准确值, 是 的一个近似值, 则 称为近似值 的绝对误差。

代数结构: 有代数运算的定义 加法和数乘关于拓扑连续, 则构成拓扑向量空间 加法和数乘关于度量连续, 则构成线性度量空间 加法和数乘关于范数连续, 则构成线性赋范空间。

无度约束的最小生成树（MST）可在多项式时间内求解{cormen2009introduction}： Kruskal：边按权升序，能连通且不成环则加入，复杂度 {kruskal1956shortest}； Prim：从任一顶点出发，每次取跨割最小边，二叉堆实现为 {prim1957shortest}。

信息论的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

半线性: 最高阶导数项的系数与未知函数及其导数无关。

汇总环、幺环、可逆元、零因子、域与群等抽象代数入门定义。

介绍循环群、生成元与元素的阶，并整理有限循环群的判别和典型习题。

整理压缩映射、连续性与 Banach 不动点定理，并配套积分方程练习。

设 其中 考虑以下三个问题 I 变分问题: 求 , 使得 II 求 , 使得它对于任意 , 都满足 III 第三边值问题: 求 , 满足以下边值问题 (1) 证明问题 I 与问题 II 等价 (2) 当 时, 证明问题 I,II,III 等价。

汇总自反空间、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 类等期末练习。

若 , 则对任给的 , 存在 , 使得当 中子集 的测度 时, 有。

[leftmargin=1.5cm] (1) 线性齐次方程: 形如 . 考虑积分因子。

逐点求解 考虑曲线 $l:{cases} {{d} x}{{d} t}=a(x)\\ x(0)=c0 {cases}(x0,t0)c0=g(x0,t0)$。

${cases} u= u{tt}-a^2u{xx}=f(x,t)& {R}(0,)\\ u(x,0)=(x), & x{R}\\ ut(x,0)=(x),& x{R} {cases}$ 做因式分解。

证明: Hilbert 空间是一致凸的. (提示: 利用平行四边形公式) 是 空间, 则 是一致凸的当且仅当 只要 , , 就有。

给出切比雪夫不等式的一般形式，并由二次函数情形得到基于方差的概率上界。

本文给出一个多项式时间的构造算法，并在后续证明其在可行域内的词典序最优性。

整理像集与原像集、特征函数、Cantor–Bernstein 定理及基数的基本性质。

加权图 (weighted graph): 边有边权。

由 连续, 可得 以 为例, 根据全变差的定义, 存在 的一个分划 慢则 并且有 据此我们可以推出。

泛函分析中关于「有界线性算子对偶空间」的课程笔记。

从线性相关、基与维数出发，整理有限维赋范空间、同构和 Riesz 引理。

{有限 Abel 群和有限生成的 {Abel} 群的结构}。

介绍单扩张、子域与由元素集合生成的子域等域扩张基本概念。

运筹学的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

使用单纯形法来求解如下优化问题： 要求： 将其转化为标准形式，列出单纯形表手算作答。

建立旅行商问题的整数规划模型，并用 0-1 变量和 Big-M 约束求解带前序关系的双工作站调度。

某企业的生产函数 , 它表示在资本投入和劳动投入分别为 和 时, 某种产品的产出量为 . 若产品价格为 , 要素投入价格分别为 , 试求该企业得到最大利润时要素投入水平。

其中 元为每批装配费， 为本批 件样品的制造费。 设在三个月内未能交出合格样品则需支付违约金 元。

则利润为 $(q,x)={cases} 600x-100q, & q x\\ 300x+200q, & q x {cases}$。

系统整理整环中的整除、不可约元与素元、最大公因子，以及欧几里得整环、主理想整环、唯一因子分解整环和诺特环。

证明正测度可测集在某个矩体中具有正的相对密度。

整理 Jordan 测度、闭矩形与有界集上的重积分、Fubini 定理及变量替换。

介绍子群判定、左右陪集与指数，推导 Lagrange 定理及循环群结论，并附 Euler 定理、Fermat 小定理和练习。

总体: 统计问题中研究对象的全体. 通常为实际问题中研究的特定指标, 如全国大学生的身高. 只关心身高数据, 而不关心体重、成绩等。

整理严格凸空间中的最佳逼近元及其存在唯一性，并讨论有限维子空间上的逼近问题。

整理 Arzelà–Ascoli 定理，以及一致有界、等度连续与列紧性的关系。

图论与组合中关于「Algo」的课程笔记。

分割集 (separating set)/ 点割 (vertex cut): 点集 , 满足 的不连通或只有一个顶点。

系统整理傅里叶级数的定义与收敛、局部化原理和费耶尔定理，并讨论贝塞尔不等式与帕塞瓦尔恒等式。

整理次线性泛函、Zorn 引理与 Hahn–Banach 定理的实、复及保范延拓形式。

称两条 -path 内部不相交, 当且仅当除了端点外没有公共点。

匹配 (matching): 一个没有自环, 任意两边没有公共端点的图。

k-因子 (k-factor): k-正则的导出子图。

{词典序最小生成树；度限制生成树；单顶点度约束；贪心算法；图论}。

整理 n 元对称群中的轮换分解、置换奇偶性、交错群和生成元，并附共轭与生成练习。

设群 的阶 , 其中 为素数, , 则对 , 中必有 阶子群, 其中 阶子群(即 的最高方幂阶子群)称为 的 Sylow -子群。

(1) 使用 和 的定义, 证明下面每一个等式 a) 取 则, 故 b) 取 则, 故 c) 取 则 故 d) 故 (2) 使用数学归纳法证明 . 其中。

数据结构与算法综合训练的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

算法设计与分析的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

我们研究的目标是：在所有满足 的生成树中，使按从小到大排序的边权向量 在“最大边优先”的词典序下最小（先最小化 ，若相同再最小化 ，依此类推）。

使用顺序表与链表实现 List ADT，并通过完整 C++ 代码讨论操作复杂度和应用。

本章在边权互异的前提下，严格证明第~{sec:base-tree}~节与第~{sec:types}~节所述算法在 的可行域内输出“最大边优先”的词典序最小生成树，且最优解唯一。 {}{{maxlex}} 对生成树 ，记其边权从小到大排序为 。 给定两棵树 ，定义 当且仅当存在最小的 使得 且 。

期末复习速记：汇总高斯公式、格林第一公式与格林第二公式。

Kaggle / 天池 / CCF 相关竞赛 常用公开数据集导航 比赛报名与准备建议。

关于「研究方向与选题」的课程笔记。

conda/venv 环境管理 Jupyter / VSCode / 远程开发 实验追踪（如 TensorBoard / W&B）。

张量与自动求导 数据集与 DataLoader 训练循环模板 实验记录与可复现配置。

泛函分析期末试题与解答，涵盖伴随算子、对偶空间、紧算子与相关证明。

泛函分析期中试题与解答，涵盖 Banach 空间、范数、线性泛函与算子等基础主题。

泛函分析期末试题与解答，整理全部题目、证明与计算过程。

反证法、归纳法、构造法 估计与不等式技巧 紧性、完备性、收敛性常见套路。

集合、逻辑、关系 分析与线代常用符号 竞赛高频符号。

泛函分析（徐小绪）中关于「定理表」的主题笔记。

介绍度量空间、距离函数及其基本性质，并结合典型问题整理度量的验证方法。

泛函分析期中试题与解答，涵盖算子收敛、一致有界原理、对偶空间与相关证明。

泛函分析（徐小绪）的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

证明 ((1)) 是 中的列紧集 ((2)) 是 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理)。

泛函分析作业，练习 Newton 迭代、压缩映射、不动点定理及积分方程的可解性。

泛函分析作业，讨论度量空间的完备性、基本列、多项式空间及紧集间距离。

泛函分析作业，围绕 Arzelà-Ascoli 定理、列紧性、等度连续和紧度量空间展开。

泛函分析作业，比较多种范数，讨论函数空间的完备性、范数等价与最佳逼近。

泛函分析作业，讨论严格凸范数、线性子空间、零收敛数列空间与商空间范数。

泛函分析作业，涵盖共轭双线性型、Hilbert 空间正交分解、标准正交集与最佳平方逼近。

泛函分析作业，围绕有界线性泛函、零空间、超平面及其几何性质展开。

泛函分析作业，讨论正交投影、闭子空间、闭算子、开映射与闭图定理。

泛函分析作业，练习一致有界原理、Hahn-Banach 定理、对偶基与凸集分离。

泛函分析作业，涵盖自伴算子、闭图与一致有界原理、弱收敛及自反空间中的极值问题。

泛函分析作业，涵盖闭算子的特征元、紧算子及相关谱性质证明。

泛函分析作业，讨论乘法算子、积分算子的紧性以及算子方程的基本性质。

泛函分析作业，整理商空间上的诱导算子、开映射定理及相关算子性质。

泛函分析作业，涵盖 Riesz-Fredholm 理论、不变子空间、伴随算子与正算子。

汇总自反空间、凸集分离、紧算子、自伴算子、谱与 Fredholm 类等期末练习。

的左垂直 是 的闭子空间; 的右垂直 是 的闭子空间。

从拓扑向量空间出发，整理范数、Banach 空间、Lp 空间、商空间及等价范数练习。

若对任意的 和 , 存在 , 使得 . 则称 是 中的稠密子集。

整理第二共轭空间的自然嵌入、自反空间、共轭算子的性质与练习。

从开覆盖定义出发，整理紧集的闭性、有限交性质和连续像等基本结论。

梳理列紧、完全有界、有限网与可分性的关系，并附相关证明和练习。

整理内积与 Hilbert 空间的基本结构、常用不等式、极化恒等式和同构。

介绍商空间的等价类、线性运算、商范数、完备性与自然同态。

如果 还是满射, 则称两个度量空间 , 等距同构。

整理压缩映射、连续性与 Banach 不动点定理，并配套积分方程练习。

证明: Hilbert 空间是一致凸的. (提示: 利用平行四边形公式)。

泛函分析（徐小绪）中关于「有界线性算子对偶空间」的课程笔记。

从线性相关、基与维数出发，整理有限维赋范空间、同构和 Riesz 引理。

整理严格凸空间中的最佳逼近元及其存在唯一性，并讨论有限维子空间上的逼近问题。

整理 Arzelà–Ascoli 定理，以及一致有界、等度连续与列紧性的关系。

整理次线性泛函、Zorn 引理与 Hahn–Banach 定理的实、复及保范延拓形式。

常见环境（定理、证明、对齐） 公式排版建议 作业/讲义模板。

常用语法速查 数学公式与代码块写法 目录与锚点管理。

行内与行间公式规范 宏定义建议 常见渲染问题排查。

Codeforces AtCoder 洛谷 OI Wiki CP-Algorithms。

Codeforces/AtCoder 周赛常态化参与。

本地模板库（数据结构 / 图论 / 数论） 对拍脚本与随机数据生成 性能测试与复杂度分析记录。

运筹学（刘嘉）的课程笔记，按主题、章节与习题整理。

整理 Newton 迭代、压缩映射、不动点与积分方程等作业题，并附 MWorks 数值实验。

有 场的比赛，第 场比赛有表现分 。参加第 场比赛后你的分数 将变为 。你可以选择最多 场比赛不参加。给定初始分数 和参数 。问经过至少 场比赛后，分数最高是多少。