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曲线积分

曲线的弧长 #

definition

对于空间中的参数方程

\begin{equation} \begin{cases} x=x(t), & \\ y=y(t), &\quad t\in[a,b] \\ z=z(t), & \end{cases} \end{equation}

所定义的曲线段 $C$ , 如果对任意的 $a\leqslant t_1<t_2\leqslant b$ , 当 $t_1=a$ 与 $t_2=b$ 不同时成立时有

(x(t_1),y(t_1),z(t_1))\neq(x(t_2),y(t_2),z(t_2)),

则称 $C$ 是简单曲线. 更进一步的, 如果有 $(x(a),y(a),z(a))=(x(b),y(b),z(b))$ 则称 $C$ 为简单闭曲线.

definition

设曲线段 $C$ 由 (\ref{空间曲线参数方程}) 所定义. 若存在 $s\in\mathbb{R}$ , 使得对任意的 $\varepsilon>0$ 而言, 存在 $\delta>0$ , 对由区间 $[a,b]$ 的任意一组满足 $\max\limits_{i}\Delta t_i<\delta$ 的分点

a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b

所定义的曲线上的点 $M_i(x(t_i),y(t_i),z(t_i))$ 均有

\left|\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\overline{M_{i-1}M_i}-s\right|<\varepsilon,

那么就称曲线段 $C$ 是可求长的, 并称 $s$ 是 $C$ 的弧长.

类似也可以给出由参数方程

\begin{equation} \begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases} \quad t\in[a,b] \end{equation}

所定义的平面上的曲线段及其弧长定义.

tip

设 $C$ 是由 (\ref{空间曲线参数方程}) 给出的可求长的曲线段, $\varphi:[c,d]\longrightarrow[a,b]$ 是严格单调的满射, 并记

C_1:\begin{cases} x=x(\varphi(u)), & \\ y=y(\varphi(u)), &\quad u\in[c,d] \\ z=z(\varphi(u)), & \end{cases}

那么 $C_1$ 也是可求长的曲线, 且其弧长等于 $C$ 的弧长. 简而言之, 曲线的弧长与参数方程的选取无关.

tip

如果 $x(t),y(t),z(t)$ 均在区间 $[a,b]$ 上连续可导, 则由 (\ref{空间曲线参数方程}) 所定义的曲线段 $C$ 是可求长的, 且弧长为

s=\int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\t d t.

tip

如果 $x(t),y(t)$ 均在区间 $[a,b]$ 上连续可导, 那么平面上由 (\ref{平面曲线参数方程}) 所定义的曲线段 $C$ 是可求长的, 且弧长为

s=\int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\t d t.

tip

对于定义在平面上的极坐标方程 $r=r(\theta)\ (\theta\in[\alpha,\beta])$ 可以将其视作由参数方程

\begin{equation} \begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta, \\ y=r(\theta)\sin\theta, \\ \end{cases} \quad \theta\in[\alpha,\beta] \end{equation}

那么此时就有

s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r'(\theta)]^2+[r(\theta)]^2}\t d\theta.

example

设 $a>0$ . 对于星形线 (astroid) $\begin{cases} x=a\cos^3 t, \\ y=a\sin^3 t, \end{cases} (t\in[0,2\pi])$ 而言, 其弧长为

\begin{aligned} & \mint[0]^{2\pi} \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\t d t \\ &\\ = & 3a\mint[0]^{2\pi} \sqrt{\cos^4 t\sin^2 t+\sin^4 t+\cos^2 t}\t d t \\ & \\ = & 3a\mint[0]^{2\pi}|\sin t\cos t|\t d t = 6a. \end{aligned}

example

tip

简单曲线 $C$ 的弧长在正交变换下保持不变.

第一型曲线积分 #

definition

设 $C$ 是一条可求长的曲线, 其两端点是 $A$ 和 $B$ (若是闭曲线则 $A$ 和 $B$ 是一个点), $f$ 是定义在 $C$ 上的一个函数. 如果存在实数 $I$ , 使得对任意的 $\varepsilon>0$ , 均存在 $\delta>0$ , 当我们依次取分点

A=M_0,M_1,\ldots,M_n=B

时, 只要 $\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\Delta s_i<\delta$ (其中 $\Delta s_i$ 表示曲线段 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 的弧长), 就对任意的 $\bm\xi_i\in\widehat{M_{i-1}M_i}$ 有

\left|\sum\limits_{i=1}^n f(\bm\xi_i)\Delta s_i-I\right|<\varepsilon,

那么就称 $I$ 为 $f$ 在 $C$ 上的第一型曲线积分(line integral of the first kind), 记作

I=\int_C f\ \text{d} s.

特别地, 当 $C$ 是闭曲线时, 我们也采用记号

I=\oint_C f\ \text{d} s.

info

当第一型曲线积分存在时, 积分值与曲线的定向无关.

tip

设 $C$ 时一条可求长曲线, $f$ 与 $g$ 是定义在 $C$ 上的两个函数, [leftmargin=1.5cm]

(1) 如果 $f$ 与 $g$ 在 $C$ 上的第一型曲线积分都存在, 那么对任意的 $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ , $\alpha f+\beta g$ 在 $C$ 上的第一型曲线积分存在并且,

\int_C (\alpha f + \beta g)\text{d} s=\alpha\int_C f\text{d} s + \beta\int_C g\text{d} s.

(2) 如果 $C=C_1\cup C_2$ , $C_1,C_2$ 均是可求长曲线, 且公共点为端点, 那么当 $C_1,C_2$ 的第一型曲线积分都存在时, $f$ 在 $C$ 上的第一型曲线积分也存在, 且

\int_C f\text{d} s=\int_{C_1} f\text{d} s+\int_{C_2} f\text{d} s.

definition

设 $C$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的光滑曲线段, 即存在参数方程

\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t), \end{cases} t\in [a,b]

表示 $C$ , 且 $x(t),y(t),z(t)$ 均在 $[a,b]$ 上连续可微.

取分点 ,求黎曼和, 用积分第一中值定理及闵可夫斯基不等式进行等价, 可得上述光滑曲线段的第一型曲线积分为

\begin{equation} \int_C f(x,y,z)\text{d} s=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \text{d} t. \end{equation}

类似地, 如果是平面上的曲线, 则有

\begin{equation} \int_C f(x,y)\text{d} s=\int_a^b f(x(t),y(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} \text{d} t. \end{equation}

第二型曲线积分 #

definition

设 $C$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的一条定向的可求长的曲线, 起点为 $A$ , 终点为 $B$ , 在 $C$ 上定义映射 $f=(P,Q,R)^T:C\longrightarrow \mathbb{R}^3$ . 若存在实数 $I$ , 使得对任意的 $\varepsilon>0$ , 均存在 $\delta>0$ , 当我们在 $C$ 上从 $A$ 到 $B$ 依次取分点

A=M_0,M_1,\ldots,M_n=B

时, 只要 $\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\overline{M_{i-1}M_i}<\delta$ , 就对任意的 $\bm\xi_i\in\widehat{M_{i-1}M_i}$ 有

\left|\sum\limits_{i=1}^n\left<f(\bm\xi_i),\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\right>-I\right|<\varepsilon,

则称 $I$ 为 $f=(P,Q,R)^T$ 沿定向曲线 $C$ 的第二型曲线积分 (line integral of the second kind). 也称作 $f$ 沿道路 $\widehat{AB}$ 的第二型曲线积分, 记作

I=\int_C P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=\int_{\widehat{AB}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z.

特别地, 当 $C$ 是闭曲线时, 我们也采用记号

I=\oint_C P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z.

类似可定义 $\mathbb{R}^2$ 中定向曲线 $C$ 的第二型曲线积分

\int_C P\text{d} x+Q\text{d} y.

info

在计算第二型曲线积分时, 需注意曲线的定向, 因为对于以 $A,B$ 为端点的曲线

\int_{\widehat{AB}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=-\int_{\widehat{BA}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z

tip

设 $\widehat{AB}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的一条可求长的定向曲线, $f=(P_1,Q_1,R_1)^T$ 和 $g=(P_2,Q_2,R_2)^T$ 均是从 $\widehat{AB}$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的映射. [leftmargin=1.5cm]

(1) 若 $f$ , $g$ 沿 $\widehat{AB}$ 的第二型曲线积分均存在, 则对任意的 $\alpha,\beta\in \mathbb{R},\ \alpha f+\beta g$ 沿 $\widehat{AB}$ 的第二型曲线积分也存在, 并且等于

\alpha\left(\int_{\widehat{AB}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z\right)+\beta\left(\int_{\widehat{AB}}P_2\text{d} xQ_2\text{d} yR_2\text{d} z\right).

(2) 设 $D$ 是 $\widehat{AB}$ 上一点, 如果 $f$ 沿 $\widehat{AD}$ 和 $\widehat{DB}$ 的第二型曲线积分均存在, 则 $f$ 沿 $\widehat{AB}$ 的第二型曲线积分也存在, 并且等于

\int_{\widehat{AD}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z+\int_{\widehat{DB}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z.

设 $\widehat{AB}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的定向光滑曲线段, 再设

f(P,Q,R)^T:\widehat{AB}\longrightarrow \mathbb{R}^3.

则有

\begin{aligned} \mint[\widehat{AB}] P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=&\mint[a]^b[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)\\ &+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]\text{d} t \end{aligned}

格林公式 #

definition

对于 $\mathbb{R}^2$ 平面上的有界闭区域 $D$ , 其边界 $\partial D$ , 是由有限条光滑曲线组成. 当在边界上行走时, 如果与之相邻的区域的内部总是在左侧, 则称这个方向是正向

tip

设 $S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界闭区域, $\partial S$ 由有限多条分段光滑曲线组成, 若 $P,Q\in C^1(S)$ , 则

\begin{equation} \int_{\partial S}P\text{d} x+Q\text{d} y = \iint\limits_S\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y \end{equation}

其中 $\partial S$ 的定向为正向.

在定理 \ref{格林公式} 条件下, 再设 $u(x,y)$ 在 $S$ 上连续可微, 那么将 (\ref{格林公式1}) 中的 $P$ 换为 $uP$ , 并取 $Q=0$ 可得

\begin{equation*} \int_{\partial S} uP\text{d} x = -\iint\limits_{S}\frac{\partial(uP)}{\partial y}\text{d} x\text{d} y = -\iint\limits_{S}\left(P\frac{\partial u}{\partial y}+u\frac{\partial P}{\partial y}\right) \text{d} x\text{d} y, \end{equation*}

也即

\begin{equation} -\iint\limits_{S}u\frac{\partial P}{\partial y}\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial S}uP\text{d} x+\iint\limits_{S} P\frac{\partial u}{\partial y}\text{d} x\text{d} y. \end{equation}

同理, 将 $Q$ 换为 $uQ$ 可得,

\begin{equation} \iint\limits_{S}u\frac{\partial Q}{\partial x}\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial S}uQ\text{d} y-\iint\limits_{S} Q\frac{\partial u}{\partial x}\text{d} x\text{d} y. \end{equation}

相加后可得,

\begin{equation} \iint\limits_{S}u\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y=\left(\int_{\partial S}uP\text{d} x + uQ\text{d} y\right)-\iint\limits_{S}\left( Q\frac{\partial u}{\partial x}-P\frac{\partial u}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y. \end{equation}

以上三式均被称作平面上的分部积分公式.

definition

对于 $\mathbb{R}^2$ 中的一个区域 $D$ , 若 $D$ 中任意一条简单闭曲线所围成的区域均包含于 $D$ , 则称 $D$ 是单连通的 (simply connected), 否则称 $D$ 为多连通的 (multiply connected) 或者称作复连通的.

tip

利用格林公式计算闭曲线围成的面积. 设 $S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一个有界闭区域, 且 $\partial S$ 由有限多条光滑曲线组成, 那么由格林公式知

\begin{equation} \mu(S)=\iint\limits_{S}\text{d} x\text{d} y = \int_{\partial S}x\text{d} y=-\int_{\partial S}y \text{d} x. \end{equation}

更进一步的, 有

\begin{equation} \mu(S)=\frac 1 2\int_{\partial S}x\text{d} y-y\text{d} x. \end{equation}

虽然看上去 (\ref{格林公式面积2}) 和 (\ref{格林公式面积1}) 没有实质上的差异. 但在实际计算中, 如果曲线有一定的对称性 (\ref{格林公式面积2}) 能带来很大的便利.

tip

设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一个单连通区域, $P,Q\in C^1(D)$ , 则下列命题等价: [leftmargin=1.5cm]

(1) 对 $D$ 中任意两点 $A,B$ 以及 $D$ 中从 $A$ 到 $B$ 的任意两条分段光滑曲线 $C_1,C_2$ 有

\int_{C_1} P\text{d} x+Q\text{d} y = \int_{C_2}P\text{d} x+\text{d} y.

即第二型曲线积分与路径无关.

(2) 对于 $D$ 中由有限多条光滑曲线组成的任一闭曲线 $C$ 有

\int_C P\text{d} x+Q\text{d} y = 0.

(3) 在 $D$ 上有 $\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$ .

应用: 调和函数 #

definition

设 $D$ 是一个平面 (闭) 区域, $f$ 是定义在 $D$ 上的具有二阶偏导数的函数, 若在 $D$ 上有

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0,

则称 $f$ 是 $D$ 上的调和函数 (harmonic function).

通常记

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},

并称 $\Delta = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$ 为拉普拉斯算子 (Laplace operator).

abstract

设 $f$ 是 $C^2$ 类的调和函数, $\\ \\A=\left[\begin{aligned} a & b \\ c & d \end{aligned}\right]$ 是一个\hr{正交矩阵}, $g(x,y)=f(ax+by,cx+dy)$ . 则有 $\Delta f = \Delta g$ .

note

记 $x'=ax+by,y'=cx+dy$ , 利用偏导数的链式法则可得

\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta g &=& \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} \

10pt] &=& \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial g}{\partial x’}\cdot\dfrac{\partial x’}{\partial x}+\dfrac{\partial g}{\partial y’}\cdot\dfrac{\partial y’}{\partial x}\right)+\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial g}{\partial x’}\cdot\dfrac{\partial x’}{\partial y}+\dfrac{\partial g}{\partial y’}\cdot\dfrac{\partial y’}{\partial y}\right) \

10pt] &=&\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot c\right)+\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right) \

10pt] &=&\dfrac{\partial }{\partial x’}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x’}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y’}\cdot c\right)\dfrac{\partial x’}{\partial x}+\dfrac{\partial }{\partial y’}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x’}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y’}\cdot c\right)\dfrac{\partial y’}{\partial x} \

10pt] &&+\dfrac{\partial }{\partial x'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right)\dfrac{\partial x'}{\partial y}+\dfrac{\partial }{\partial y'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right)\dfrac{\partial y'}{\partial y} \

10pt] &=& (a^2+b^2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial {x’}^2}+(c^2+d^2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial {y’}^2}+(ac+ac+bd+bd)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x’\partial y’}\

10pt] &=& \dfrac{\partial^2 f}{\partial {x'}^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial {y'}^2} = \Delta f. \end{aligned} \end{equation*}

上述最后一行利用了正交矩阵的性质, 任意两行向量点积是 $0$ , 即 $ac+bd=0$ .

更进一步的, 如果是 $n$ 元调和函数 $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(x_1',x_2',\ldots,x_n')$ 其中, $(x_1',\ldots,x_n')^T=A(x_1,\ldots,x_n)^T$ , 且 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵.

那么有 $\dfrac{\partial x_i'}{\partial x_j}=a_{i,j}$ .

则

\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta g &=&\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial^2 g}{\partial x_i^2}\\ [10pt] &=& \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial g}{\partial x_j'}\cdot\dfrac{\partial x_j'}{\partial x_i}) \\ [10pt] &=& \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_k'}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_j'}\cdot a_{j,i})\dfrac{\partial x_k'}{\partial x_i} \\ [10pt] &=& \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_k'}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_j'}\cdot a_{j,i}) a_{k,i} \\ [10pt] &=&\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n a_{k,i}a_{j,i}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k'\partial x_j'} \\ [10pt] &=&\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial^f}{\partial x_k'^2}=\Delta f. \end{aligned} \end{equation*}

利用到了 $\sum\limits_{i=1}^n a_{j,i}a_{k,i}=\begin{cases} 1,\quad j=k \\ 0,\quad j\neq k \end{cases}$

tip

设 $D$ 是平面上由有限多条光滑曲线所围城的有界闭区域, $u$ 和 $v$ 是定义在 $D$ 上的两个函数, 且 $u\in C^2(D),\ v \in C^1(D)$ , 则

\iint\limits_{D}v\Delta u\text{d} x\text{d} y = -\int\limits_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\ \frac{\partial v}{\partial y}\right)

曲线积分

曲线的弧长 #

第一型曲线积分 #

第二型曲线积分 #

格林公式 #

应用: 调和函数 #

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