数学 旧 .com 迁移 偏微分方程：波动方程 / 混合问题 从旧 .com 全量搬运的历史内容，来源路径：/math/课程/偏微分方程/chapters/波动方程/混合问题/ 发布 2026-02-12 约 1 分钟阅读 migrationlegacy-commathcourse-notecourse 迁移来源 旧站标题：混合问题 新站标题：偏微分方程：波动方程 / 混合问题 旧站路径：/math/课程/偏微分方程/chapters/波动方程/混合问题/ 旧页面 ID：312 混合问题 # definition {utt−a2uxx=0,Q={0<x<l,t>0}u(0,t)=u(l,t)=0,t>0u(x,0)=φ(x),0⩽x⩽lut(x,0)=ψ(x),0⩽x⩽l.\begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=0, & Q=\{0<x<l,t>0\}\\ u(0,t)=u(l,t)=0, & t>0\\ u(x,0)=\varphi(x), & 0\leqslant x\leqslant l\\ u_t(x,0)=\psi(x), & 0\leqslant x\leqslant l. \end{cases}⎩⎨⎧utt−a2uxx=0,u(0,t)=u(l,t)=0,u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x),Q={0<x<l,t>0}t>00⩽x⩽l0⩽x⩽l. 广义解 # definition 称 u(x,t)∈C(QT‾)(QT=(0,l)×(0,T))u(x,t)\in C(\overline{Q_T}) (Q_T=(0,l)\times (0,T))u(x,t)∈C(QT)(QT=(0,l)×(0,T)) 为\hyperref[波动方程混合问题]{波动方程混合问题}的广义解, 当且仅当 对任意的 ζ(x,t)∈D={ζ(x,t)∈C2(QT‾):ζ(x,T)=ζt(x,T)=ζ(0,t)=ζ(l,t)=0}\zeta(x,t)\in\mathscr D=\{\zeta(x,t)\in C^2(\overline{Q_T}):\zeta(x,T)=\zeta_t(x,T)=\zeta(0,t)=\zeta(l,t)=0\}ζ(x,t)∈D={ζ(x,t)∈C2(QT):ζ(x,T)=ζt(x,T)=ζ(0,t)=ζ(l,t)=0} 下述等式恒成立 ∬QTu(ζtt−a2ζxx)dxdt+∫0lφζt(x,0)dx−∫0lψζ(x,0)dx=0.\iint_{Q_T}u(\zeta_{tt}-a^2\zeta_{xx})\text{d} x\text{d} t+\int_0^l\varphi\zeta_t(x,0)\text{d} x-\int_0^l\psi\zeta(x,0)\text{d} x=0.∬QTu(ζtt−a2ζxx)dxdt+∫0lφζt(x,0)dx−∫0lψζ(x,0)dx=0. 数学中的较早一篇偏微分方程：波动方程 / 一阶线性方程的特征线解法数学中的较新一篇偏微分方程：波动方程 / 高维初值问题 讨论 评论 正在加载评论... 邮箱 获取验证码 验证码 验证 评论 提交评论 退出登录
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