条件概率

定义条件概率

设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $A,B\in\mathscr{F}$ , 其中 $\tP(A)>0$ , 则称

\tP(B|A)=\dfrac{\tP(AB)}{\tP(A)}

为在 $A$ 发生条件下 $B$ 发生的概率.

定理概率的乘法定理

设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $\{A_k,\ k=1,2,\cdots,n\}\subset \mathscr{F}$ . 如果 $\tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)>0$ , 则有

\tP\left(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k\right)=\tP(A_1)\tP(A_2|A_1)\tP(A_3|A_1A_2)\cdots\tP(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}).

定义

设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 中的一组事件, 如果满足它们两两不交且 $\bigcup\limits_{k=1}^n A_k=\Omega$ , 则称这是 $\Omega$ 的一个分划.

定理全概率公式

设概率空间 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 中 $A_1,A_2\cdots,A_n$ 是 $\Omega$ 的一个分划, 如果 $\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\ldots,n$ 则对任意的 $B\in\mathscr{F}$ 有

\tP(B)=\sum\limits_{k=1}^n\tP(A_kB)=\sum\limits_{i=1}^n\tP(A_k)\tP(B|A_k).

定理贝叶斯 (Bayes) 公式

设 $(\Omega,\mathscr{F},\tP)$ 为概率空间, $\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$ 是对 $\Omega$ 的一个分划, 如果 $\tP(A_k)>0,\ k=1,2,\cdots,n$ , 则对任何 $B\in\mathscr{F}$ , 只要 $\tP(B)>0$ , 就有

\tP(A_k|B)=\dfrac{\tP(A_k)\tP(B|A_k)}{\sum\limits_{j=1}^n\tP(A_j)\tP(B|A_j)},\quad k=1,2,\cdots,n.

例 Polya 罐子模型

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