随机变量的方差与标准差

随机变量的方差与标准差 #

方差与标准差的定义### 方差的性质 #

以下均假定随机变量的方差存在.

性质

$\var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

性质

常数的方差为 $0$, 即 $\var(c)=0$.

性质

若 $a,b$ 是常数, 则 $\var(aX+b)=a^2\var(X).$

切比雪夫不等式 #

定理 切比雪夫

设随机变量 $X$ 的数学期望和方差都存在, 则对任意常数 $\varepsilon>0$, 有

$$\begin{equation} P(|X-E(x)|\geqslant\varepsilon)\leqslant\dfrac{\var(X)}{\varepsilon^2}, \end{equation}$$

或

$$\begin{equation} P(|X-E(x)|<\varepsilon)\geqslant 1-\dfrac{\var(X)}{\varepsilon^2}, \end{equation}$$

我们称事件 $\{|X-E(X)|\geqslant\varepsilon\}$ 为大偏差, 其概率 $P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon)$ 称为偏差发生概率.

定理

若随机变量 $X$ 的方差存在, 则 $\var(X)=0$ 的充要条件是 $X$ 几乎处处为某个常熟 $a$, 即 $P(X=a)=1$.