群与子群：先认清运算，再判断封闭

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群描述的是一套可逆的运算 #

先修只需要集合、映射和整数运算。本节的目标是：看见一个集合和一种运算时，知道要检查什么；看见群的一个子集时，不必把群公理重新验证一遍。

群不是一个孤立的集合，而是集合与运算的组合。设 $G$ 非空，二元运算把每对 $a,b\in G$ 对应到唯一的 $ab\in G$。这已包含运算的封闭性。若还满足以下条件，就称 $(G,\cdot)$ 为群：

1. 结合律： 对任意 $a,b,c\in G$，有 $(ab)c=a(bc)$。
2. 单位元： 存在 $e\in G$，使所有 $a\in G$ 都满足 $ea=ae=a$。
3. 逆元： 对每个 $a\in G$，存在 $a^{-1}\in G$，使 $aa^{-1}=a^{-1}a=e$。

若再有 $ab=ba$，才称为交换群或 Abel 群。结合律不等于交换律：前者允许改变括号，后者才允许交换次序。

单位元和逆元都唯一。例如若 $e,f$ 都是单位元，则 $e=ef=f$；若 $b,c$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b=b(ac)=(ba)c=c$。

同一集合，换一种运算会怎样 #

整数在加法下构成群：单位元是 $0$，$a$ 的逆元是 $-a$。整数在乘法下不构成群，因为 $2$ 的乘法逆元不在整数中。非零实数在乘法下构成群，而全体实数在乘法下不构成群，因为 $0$ 没有逆元。

有限集合上的双射在复合下构成群。本文约定 $\sigma\tau$ 表示先做 $\tau$、再做 $\sigma$。这里 $S_3$ 是三元素集合 $\{1,2,3\}$ 的全体置换构成的群；$(12)$ 表示交换 $1,2$ 并固定 $3$，$(23)$ 类似。在 $S_3$ 中，$(12)(23)$ 将 $1$ 送到 $2$，而 $(23)(12)$ 将 $1$ 送到 $3$，所以群不一定交换。

子群沿用原来的运算 #

设 $H\subseteq G$。若 $H$ 在 $G$ 的同一种运算下也构成群，就称 $H$ 为 $G$ 的子群，记作 $H\le G$。这里允许 $H=G$。

子群的结合律从 $G$ 继承下来。真正需要检查的是：运算会不会离开 $H$，单位元和逆元是否仍在 $H$ 中。

子群判别法。 非空子集 $H\subseteq G$ 是子群，当且仅当

$$a,b\in H\quad\Longrightarrow\quad ab^{-1}\in H.$$

证明：一个条件怎样同时给出单位元、逆元和乘积

若 $H$ 已是子群，这个条件显然成立。反过来，先用非空性选取 $h\in H$。取 $a=b=h$，得到 $e=hh^{-1}\in H$。

对任意 $b\in H$，取 $a=e$，得到 $b^{-1}\in H$。最后，对任意 $a,b\in H$，既然 $b^{-1}\in H$，再把判别条件用于 $a,b^{-1}$，便得到 $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$。

结合律继承自 $G$，所以 $H$ 是子群。

“非空”不能省略：空集使上述蕴含真空成立，却没有单位元。

加法群中的判别要写成减法 #

在 $(\mathbb Z,+)$ 中，$ab^{-1}$ 的加法版本是 $a-b$。因此非空整数子集 $H$ 是加法子群，当且仅当它对作差封闭。

对任意整数 $d\ge0$，集合 $d\mathbb Z=\{dk:k\in\mathbb Z\}$ 是子群，因为 $dm-dn=d(m-n)$。特别地，$0\mathbb Z=\{0\}$；不要将它误读成空集。

只检查乘法封闭够不够 #

一般不够。非负整数 $\mathbb Z_{\ge0}$ 在整数加法下非空且对加法封闭，却不包含 $1$ 的加法逆元 $-1$，所以不是子群。

但如果 $H$ 是群 $G$ 的有限非空子集，那么只要 $H$ 对乘法封闭，就已经是子群。

证明：有限性使正幂重复，从而找回逆元

固定 $a\in H$。封闭性保证 $a,a^2,a^3,\ldots$ 都在 $H$ 中。有限性保证存在 $1\le i<j$ 使 $a^i=a^j$。在环境群 $G$ 中消去 $a^i$，得到 $a^{j-i}=e$，所以 $e\in H$。

若 $j-i=1$，则 $a=e$，逆元已在 $H$ 中；若 $j-i\ge2$，则 $a^{-1}=a^{j-i-1}\in H$。这对每个 $a\in H$ 都成立，故 $H$ 是子群。

有限的是 $H$，环境群 $G$ 可以是无限群。证明在 $G$ 中使用逆元，并没有预先假定逆元属于 $H$。

两道自检 #

1. 并集还是交集 #

设 $H,K\le G$。证明 $H\cap K$ 是子群，并说明 $H\cup K$ 不一定是子群。

解答

$e\in H\cap K$，所以交集非空。若 $a,b\in H\cap K$，则 $ab^{-1}$ 同时属于 $H$ 和 $K$，判别法即给出结论。

在 $(\mathbb Z,+)$ 中取 $H=2\mathbb Z$、$K=3\mathbb Z$。虽然 $2,3\in H\cup K$，但 $2+3=5\notin H\cup K$，所以并集不是子群。

2. 一个有限子集的判断 #

在非零实数乘法群中，$\{1,-1\}$ 与 $\{1,2\}$ 哪一个是子群？

解答

$\{1,-1\}$ 对乘法封闭，且有限非空，因此是子群。$\{1,2\}$ 不封闭，因为 $2\cdot2=4$ 不在集合中。“有限”本身不够，还需要封闭性。

接下来：让一个元素生成子群 #

下一节把 $a$ 的所有整数次幂放在一起，说明为什么它们恰好组成包含 $a$ 的最小子群：循环群与生成元。

教材定位：丘维声《近世代数》（北京大学出版社，2015 年第 1 版）第一章 §1.1、§1.4；子群判别法对应 §1.4 的起始部分。本节例子和证明按上述阅读目标重新组织。