偏微分方程：第 2 次作业

2.6 #

试求解初值问题：

$$\begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0, & -\infty<x<\infty,\ \ t>a x,\\[2pt] \left.u\right|_{t=a x}=u_0(x), & -\infty<x<\infty,\\[2pt] \left.u_t\right|_{t=a x}=u_1(x), & -\infty<x<\infty, \end{cases} \qquad a\neq \pm 1.$$

若初值只给定在 $c\le x\le b$ 上，试问它能在什么区域上确定解。

2.10 #

试利用唯一性结果直接证明：当初值 $\varphi(x),\psi(x)$ 是偶函数，非齐次项 $f(x,t)$ 是 $x$ 的偶函数时，非齐次波动方程初值问题的解 $u(x,t)$ 关于 $x$ 也是偶函数。

根据以上事实，用延拓法求解半无限界问题

$$\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t), & 0<x<+\infty,\ t>0,\\[8pt] \left.u\right|_{t=0}=\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=0, & 0\le x<+\infty,\\[8pt] \left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=0, & t\ge 0 . \end{cases}$$

并说明当 $f(x,t)$ 满足什么条件时，导出的公式确实是问题的解。

2.12 #

证明半无界问题解的唯一性：

$$\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t), & 0<x<\infty,\ t>0,\\[8pt] \left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\quad \left.u_t\right|_{t=0}=\psi(x), & 0\le x<\infty,\\[6pt] \left.u\right|_{x=0}=\mu(t), & t\ge 0 . \end{cases}$$

2.16 #

2.18 #