偏微分方程：第 2 次作业

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试求解初值问题：

\begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0, & -\infty<x<\infty,\ \ t>a x,\

2pt] \left.u\right|_{t=a x}=u_0(x), & -\infty<x<\infty,\

2pt] \left.u_t\right|_{t=a x}=u_1(x), & -\infty<x<\infty, \end{cases} \qquad a\neq \pm 1.

若初值只给定在 $c\le x\le b$ 上，试问它能在什么区域上确定解。

试利用唯一性结果直接证明：当初值 $\varphi(x),\psi(x)$ 是偶函数，非齐次项 $f(x,t)$ 是 $x$ 的偶函数时，非齐次波动方程初值问题的解 $u(x,t)$ 关于 $x$ 也是偶函数。

根据以上事实，用延拓法求解半无限界问题

\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t), & 0<x<+\infty,\ t>0,\

8pt] \left.u\right|{t=0}=\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|{t=0}=0, & 0\le x<+\infty,\

8pt] \left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=0, & t\ge 0 . \end{cases}

并说明当 $f(x,t)$ 满足什么条件时，导出的公式确实是问题的解。

证明半无界问题解的唯一性：

\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t), & 0<x<\infty,\ t>0,\

8pt] \left.u\right|{t=0}=\varphi(x),\quad \left.u_t\right|{t=0}=\psi(x), & 0\le x<\infty,\

6pt] \left.u\right|_{x=0}=\mu(t), & t\ge 0 . \end{cases}