子群Lagrange定理

\section{子群,\ Lagrange 定理}

定义

如果群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 对于 $G$ 的运算也成为一个群, 那么称 $H$ 为 $G$ 的一个子群, 记作 $H<G$.

$n$ 元对称群 $S_n$ 的任一子群称为 $n$ 元置换群.

非空集合 $\Omega$ 上的全变换群 $S_\Omega$ 的任一子群称为 $\Omega$ 上的变换群.

群 $G$ 中, 仅由单位元 $e$ 组成的子集 $\{e\}$ 是 $G$ 的一个子群. $G$ 本身也是 $G$ 的一个子群. $\{e\}$ 和 $G$ 称为 $G$ 的平凡子群.

命题

群 $G$ 的非空子集 $H$ 是子群当且仅当从 $a,b\in H$ 可以推出

$$ab^{-1}\in H.$$

定义

设 $H<G$, 我们规定 $G$ 上面的一个二元关系 $\sim$, 满足

$$a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H.$$

容易验证, $\sim$ 是一个等价关系.

下面我们就来考虑这个关系中的等价类, 任给 $a\in G$.

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \overline{a}&=&\{x\in G|x\sim a\}=\{x\in G|xa^{-1}\in H\}=\{x\in G|xa^{-1}=h,h\in H\}\\ &=&\{x\in G|x=ha,h\in H\}=\{ha|h\in H\}\triangleq Ha. \end{aligned} \end{equation*}$$

定义

我们称 $Ha$ 是 $H$ 的一个右陪集, $a$ 称为陪集代表. $H$ 的所有右陪集组成的集合是 $G$ 的一个划分, 此集合也称为 $G$ 关于子群 $H$ 的右商集, 记作 $(G/H)_r$.

类似的, 定义二元关系 $b^{-1}a\in H$, 可定义左陪集 $aH$, 和左商集 $(G/H)_l$.

取映射

$$\begin{aligned} \sigma:(G/H)_l &\to& (G/H)_r \\ aH & \mapsto & Ha^{-1} \end{aligned}$$

则有 $aH=cH\Leftrightarrow c^{-1}a\in H\Leftrightarrow c^{-1}(a^{-1})^{-1}\in H\Leftrightarrow Hc^{-1}=Ha^{-1}$. 从而说明 $\sigma$ 是单射. 又 $\sigma(b^{-1}H)=Hb$, 因此 $\sigma$ 是满射, 从而 $\sigma$ 是双射.

定义

\noindent 设 $H<G$, 把 $(G/H)_l$ 的基数称为 $H$ 在 $G$ 中的指数, 记作 $[G:H]$.

若 $[G:H]=r$, 则有

$$\begin{equation} G=H\cup a_1 H\cup\cdots\cup a_{r-1}H, \end{equation}$$

其中 $H,a_1H,\ldots,a_{r-1}H$ 两两不相交, 我们称 \eqref{左陪集分解式} 为 $G$ 关于 $H$ 的左陪集分解式, $\{e,a_1,\ldots,a_{r-1}\}$ 称为左陪集代表系.

考虑映射

$$\begin{aligned} \tau:H &\to& aH \\ h & \mapsto & ah \end{aligned}$$

显然 $\tau$ 是一个双射, 即 $H$ 与 $aH$ 有相同的基数.

定理 Lagrange 定理

设 $G$ 是有限群, $H<G$, 则有

$$|G|=[G:H]|H|$$

从而 $G$ 的任一子群 $H$ 的阶是 $G$ 的阶的因数.

定义

设 $G$ 是有限群, $a\in G$ 且 $|a|=s$. 令

$$H=\{e,a,a^2,\ldots,a^{s-1}\}$$

显然 $H<G$, 我们称之为由 $a$ 生成的子群, 记作 $\langle a\rangle$.

推论

\noindent 设 $G$ 是有限群, 则 $G$ 的任一元素 $a$ 的阶是 $G$ 的阶的因数, 从而 $a^{|G|}=e$.

推论

\noindent 素数阶群一定是循环群.

证明

\noindent 对于非单位元 $a$, $|a|\big| |G|$, 由于 $|G|$ 是素数, 故 $|a|=|G|$, 进而 $G$ 是循环群.

定理 欧拉定理

\noindent 设 $m\in \Z_{>1}$, 若整数 $a$ 满足 $(a,m)=1$ 则

$$a^{\varphi(m)}\equiv 1 (\bmod m).$$

定理 费马小定理

\noindent 设 $p$ 是素数, 则对于任意整数 $a$, 有

$$a^p\equiv a(\bmod p).$$

定理

\noindent 设 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群, 则

• (1) $G$ 的每一个子群都是循环群.
• (2) 对于 $G$ 的阶 $n$ 的每一个正因数 $s$, 都存在唯一一个 $s$ 阶子群 (\tr{$\langle a^{\frac n s}\rangle$}), 它们就是 $G$ 的全部子群.

$4$ 阶群恰有两个同构类, 一类是 $4$ 阶循环群, 它的代表是 $(\Z_4,+)$; 另一类是 $4$ 阶非循环的 \Abel 群, 它的代表是 $(\Z_2\oplus\Z_2,+)$, 称它为 \mydef[Klein群]{Klein 群}, 也称为四群, 记作 $V$.

练习

题目 #

设 $H,K$ 都是群 $G$ 的子群. 证明: $HK$ 为 $G$ 的子群当且仅当

$$HK=KH.$$

题目 #

设 $H,K$ 都是群 $G$ 的有限子群, 证明:

$$|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.$$

题目 #

设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集. $G$ 的包含 $S$ 的所有子群的交集 $\bigcap\limits_{S\subseteq H<G} H$ 称为由 S 生成的子集, 记作 $\langle S\rangle$, 称 $S$ 是生成元集.

题目 #

在 $(\mathbb{C},+)$ 中, 由 $\{1,\text{i}\}$ 生成的子群称为高斯整数群.

题目 #

群 $G$ 中元素 $a$, 如果存在 $b\in G$ 使得 $b^2=a$, 那么称 $a$ 是平方元, $b$ 是 $a$ 的一个平方根. 证明: 奇数阶群 $G$ 的每个元素 $a$ 都是平方元, 且 $a$ 的平方根唯一.

证明

设 $|G|=2m+1$, 任给 $a\in G$ 有,

$a^{2m+1}=e\Rightarrow a=a^{2m+2}=(a^{m+1})^2$ 故 $a$ 是平方元.

做映射 $\sigma:G\to G,a\mapsto a^2$, 由每个元素都是平方元知是满射, 又集合元素个数相等, 从而是双射. 故每个元素的平方根唯一.