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抽象代数：群 / 可解群,单群,Jordan-Holder定理

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迁移来源

\section{可解群, 单群, Jordan-Holder 定理}

definition

称 xyx−1y−1xyx^{-1}y^{-1} 为 x,yx,y 的换位子, 记作 [x,y][x,y]. 我们有

xy=yx⇔xyx−1y−1=e.xy=yx\Leftrightarrow xyx^{-1}y^{-1}=e.
definition

群 GG 的所有换位子组成的子集生成的子群称为 GG 的换位子群或导群, 记作 G′G' 或 [G,G][G,G], 即

G′=⟨{xyx−1y−1∣x,y∈G}⟩.G'=\langle\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\rangle.

立即可以得到

G 是 Abel 群⇔G′={e}G\ \t{是 Abel 群}\Leftrightarrow G'=\{e\}
tip

设 σ\sigma 是 GG 到 G~\widetilde{G} 的一个同态, 则

Im⁡σ 为 Abel 群⇔G′⊆Ker⁡σ.\tIm\sigma\ \t{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq \Ker\sigma.
note
Im⁡σ 为 Abel 群⇔σ(x)σ(y)=σ(y)σ(x),∀σ(x),σ(y)∈Im⁡σ⇔σ(xy)σ(x)−1σ(y)−1=e~⇔σ(xyx−1y−1)=e~⇔xyx−1y−1Ker⁡σ⇔{xyx−1y−1∣x,y∈G}⊆Ker⁡σ\begin{equation} \begin{aligned} \tIm\sigma\ \t{为 Abel 群} & \Leftrightarrow & \sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x),\quad\forall \sigma(x),\sigma(y)\in\tIm\sigma \\ &\Leftrightarrow&\sigma(xy)\sigma(x)^{-1}\sigma(y)^{-1}=\widetilde{e}\\ &\Leftrightarrow&\sigma(xyx^{-1}y^{-1})=\widetilde{e}\\ &\Leftrightarrow&xyx^{-1}y^{-1}\Ker\sigma\\ &\Leftrightarrow&\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\subseteq\Ker\sigma \end{aligned} \end{equation}

又 Ker⁡σ\Ker\sigma 也是一个群, 所以 {xyx−1y−1∣x,y∈G}⊆G′⊆Ker⁡σ\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\subseteq G'\subseteq \Ker\sigma.

tip

G′⊲GG'\lhd G.

tip

G/G′G/G' 是 \Abel 群.

tip

设 N⊲GN\lhd G, 则

G/N 为 Abel 群⇔G′⊆N.G/N\ \t{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq N.
definition

设 GG 是一个群, G′G' 的换位子群记作 G(2),…,G(k−1)G^{(2)},\ldots,G^{(k-1)} 的换位子群记作 G(k),…G^{(k)},\ldots. 如果存在正整数 kk 使得 G(k)={e}G^{(k)}=\{e\}, 那么称 GG 是可解群, 否则称不可解群.

tip

群 GG 可解当且仅当存在 GG 的递降子群列:

G=G0⊳G1⊳G2⊳⋯⊳Gs={e}.G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_s=\{e\}.

并且每个商群 Gi−1/GiG_{i-1}/G_i 都是 \Abel 群.

tip

可解群的每个子群和同态像都是可解群.

tip

可解群的商群是可解群.

tip

设 N⊲GN\lhd G, 若 NN 和 G/NG/N 可解, 那么 GG 可解.

definition

如果群 GG 只有平凡的正规子群 {e}\{e\} 和 GG, 那么称 GG 是单群.

tip

\Abel 群 GG 是单群当且仅当 GG 是素数阶循环群.

tip

若非 \Abel 群 GG 是单群, 则 GG 不可解.

definition

群 GG 的一个递降的子群列: \begin{equation} G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_r={e}, \end{equation} 称为 GG 的一个次正规子群列. 其商群组 \begin{equation} G_0/G_1,\quad G_1/G_2,\quad\cdots,\quad G_{r-1}/G_r \end{equation} 称为 \eqref{次正规子群列式} 的因子群组, 其中含有非单位元的因子群的个数称为 \eqref{次正规子群列式} 的长度.

definition

群 GG 的一个次正规子群列如果满足每个因子群都是单群, 那么称为合成群列.

tip

每个有限群至少有一个合成群列.

tip

有限群 GG 可解当且仅当存在次正规子群列满足每个因子群都是素数阶循环群.

tip

有限群 GG 的任意两个无重复项的合成群列有相同的长度, 并且其因子群组能用某种方法配对, 使得对应的因子群式同构的.

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