抽象代数：群 / 图形的对称群

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图形的对称(性)群 #

definition

平面上(或空间中)的一个变换 $\sigma$ 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 $\sigma$ 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry).

definition

平面上(或空间中)的一个正交点变换 $\sigma$ 如果使得图形 $\Gamma$ 的像与自身重合, 那么称 $\sigma$ 是图形 $\Gamma$ 的\mydef[对称变换]{对称(性)变换}.

容易验证, $\Gamma$ 的所有对称变换构成一个群, 称为\mydef[对称群]{图形 $\Gamma$ 的对称(性)群}.

我们一般用 $\tau$ 来表示图形关于直线反射(轴对称)的对称变换, 用 $\sigma$ 来表示关于图形中心旋转得到的对称变换.

用 $D_n$ 表示正 $n$ 边形的对称群.

当 $n=4$ 时, 正方形一共有四条对称轴对应 $\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4$, 且每转动 $90^\circ$ 都重合对应着 $\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma_4=I$.

经过研究, $D_4=\{I,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4\}$. 同时 $\tau_i$ 也可以由 $\sigma$ 和 $\tau_1$ 表示. 所以也可以把 $D_4$ 简单的记作

$$D_4=\langle \sigma,\tau|\sigma^4=\tau^2=I,(\tau\sigma)^2=I\rangle.$$

类似的, 对于 $D_n$ 也可以记作 $\langle \sigma,\tau|\sigma^n=\tau^2=(\tau\sigma)^2=I\rangle$.

由于 $\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau=\sigma^{n-1}\tau\neq\sigma\tau$, 所以 $D_n$ 是非 \Abel 群.

我们称 $D_n$ 为二面体群, 且有 $|D_n|=2n$.