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环的理想与域的构造

从环同态、理想和商环出发，整理整环、高斯整数与分式域的基本构造。

约 11 分钟阅读
抽象代数环论理想商环分式域
本页目录 5 节

环同态, 理想, 商环 #

定义

若非空集合 R1⊆RR_1\subseteq R, RR 是一个环, 如果 R1R_1 对于 RR 的加法和乘法也构成环, 则称 R1R_1 是 RR 的子环.

命题

环 RR 的子集 R1R_1 是 RR 的子环，当且仅当

a,b∈R1⇒a−b∈R1∧ab∈R1.a,b\in R_1\Rightarrow a-b\in R_1\wedge ab\in R_1.
定义

如果环 RR 到环 R~\widetilde{R} 有一个映射 σ\sigma, 满足:

σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(ab)=σ(a)σ(b),σ(1)=1~.\begin{aligned} \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \\ \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b), \\ \sigma(1)=\widetilde{1}. \end{aligned}

那么称 σ\sigma 是环同态.

注: 只有存在单位元才需验证上述最后一条条件.

性质

设 σ\sigma 是 RR 到 R~\widetilde{R} 的环同态, 则

σ(0)=0~,σ(−a)=−σ(a).\sigma(0)=\widetilde{0},\quad\sigma(-a)=-\sigma(a).
定义

称 Ker⁡σ\Ker \sigma 为 RR 到 R~\widetilde{R} 的环同态核.

定义

如果环 RR 的一个非空子集 II 对 RR 的减法封闭, 并且具有”左, 右吸收性”, 即

a∈I, r∈R ⇒ra∈I∧ar∈I,a\in I,\ r\in R\ \Rightarrow ra \in I\wedge ar\in I,

那么称 II 是 RR 的一个理想或双边理想.

推论

理想是加法子群.

定义

称 RR 和 {0}\{0\} 是环 RR 的平凡的理想.

如果 RR 只有平凡的理想, 那么称 RR 是单环.

推论

设环 RR 有单位元, 则 RR 的每个非平凡理想均不含有单位元.

推论

域 FF 没有非平凡理想.

证明

由于存在逆元, 非零理想中必存在幺元, 进而非零理想就是 FF.

推论

设 RR 是交换幺环, 则

R 是域⇔R 没有非平凡理想.R\ \t{是域}\Leftrightarrow R\ \t{没有非平凡理想}.
证明

考虑 RaRa 是 RR 的理想, Ra=RRa=R 可得存在 ba=eba=e, 由此 aa 有逆元.

定义

如果环 RR 的子集 JJ 对减法封闭, 并且具有”左吸收性”, 即

b∈J,r∈R⇒rb∈J.b\in J,r\in R\Rightarrow rb\in J.

则称 JJ 是 RR 的左理想.

定义

设 II 是环 RR 的一个理想, 令

R/I:={r+I∣r∈R}.R/I:=\{r+I|r\in R\}.

并在 R/IR/I 中规定

(r1+I)(r2+I):=r1r2+I.(r_1+I)(r_2+I):=r_1r_2+I.

则 R/IR/I 成为一个环, 称它为环 RR 对于理想 II 的商环, 它的元素 r+Ir+I 称为模 II 的同余类.

定义

设 II 是环 RR 的一个理想, 令

π:R→R/Ir↦r+I.\begin{aligned} \pi: & R & \to & R/I \\ & r & \mapsto & r+I. \end{aligned}

则 π\pi 是环 RR 到 R/IR/I 的一个环同态, 且是满同态, Ker⁡π=I\Ker\pi=I. 称 π\pi 为 RR 到 R/IR/I 的自然环同态.

定理 环同态基本定理

设 σ\sigma 是环 RR 到 R~\widetilde{R} 的一个环同态, 则 Ker⁡σ\Ker\sigma 是 RR 的一个理想, 且 Im⁡σ≅R/Ker⁡σ\tIm\sigma\cong R/\Ker\sigma.

定理 第一环同构定理

设 II 是环 RR 的一个理想, HH 是 RR 的一个子环, 则

  • (1) H+IH+I 是 RR 的一个子环.
  • (2) H∩IH\cap I 是 HH 的一个理想, 且 H/H∩I≅(H+I)/IH/H\cap I\cong (H+I)/I.
命题

设 II 是环 RR 的一个理想, 则商环 R/IR/I 的所有理想组成的集合为

{K/I∣K 是 R 的包含 I 的理想}.\{K/I|K\ \t{是}\ R\ \t{的包含}\ I\ \t{的理想}\}.
定理 第二环同构定理

设 I,JI,J 是环 RR 的理想, 且 I⊆JI\subseteq J, 则 J/IJ/I 是 R/IR/I 的一个理想, 且有环同构:

(R/I)/(J/I)≅R/J.(R/I)/(J/I)\cong R/J.

理想的运算, 环的直和 #

命题

设 RR 是含有单位元的交换环, 任给 a∈Ra\in R, 令

{ar∣r∈R}=:aR=Ra:={ra∣r∈R}\{ar|r\in R\}=:aR=Ra:=\{ra|r\in R\}

则 Ra,aRRa, aR 是 RR 的理想.

命题

若 {Ij∣j∈J}\{I_j|j\in J\} 是环 RR 的一族理想, 则 ⋂j∈JIj\bigcap\limits_{j\in J} I_j 也是 RR 的理想.

定义

设 SS 是环 RR 的非空子集, 把 RR 的所有包含 SS 的理想的交集称为由 SS 生成的理想, 记作 (S)(S). 如果 SS 是有限集, 那么称 (S)(S) 是有限生成的. 若 S={a1,a2,…,an}S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}, 则把 (S)(S) 记作 (a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\ldots,a_n).

定义

环 RR 中由一个元素生成的理想称为主理想, 记作 (a)(a).

性质

若 RR 是有单位元的交换环, 则 Ra=(a)Ra=(a).

命题

设 RR 是一个环 (不一定有单位元, 也不一定是交换环), 则元素 aa 生成的理想 (a)(a) 为

(a)={r1a+ar2+ma+∑i=1nxiayi∣r1,r2,xi,yi∈R,m∈Z,n∈N∗}.(a)=\left\{r_1a+ar_2+ma+\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i|r_1,r_2,x_i,y_i\in R,m\in\Z,n\in\mathbb{N}^*\right\}.
命题

若 RR 是有单位元的交换环, a1,a2,…,an∈Ra_1,a_2,\ldots,a_n\in R, 则

(a1,a2,…,an)={∑i=1nriai∣ri∈R,i=1,2,…,n}.(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\{\sum\limits_{i=1}^n r_ia_i|r_i\in R,i=1,2,\ldots,n\}.
定义

设 A,BA,B 是环 RR 的两个非空子集, 定义

A+B:={a+b∣a∈A,b∈B}AB:={∑i=1naibi∣ai∈A,bi∈B,i=1,2,…,n,n∈N∗}\begin{aligned} A+B:=\{a+b|a\in A,b\in B\} \\ AB:=\left\{\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\bigg|a_i\in A,b_i\in B,i=1,2,\ldots,n,n\in\mathbb{N}^*\right\} \end{aligned}
定义

若 I,JI,J 是环 RR 的两个理想, 则 I+J,IJI+J,IJ 都是 RR 的理想, 分别称他们为理想的和、积, 并且有

IJ⊆I∩J⊆I+J.IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J.
性质

设 I,J,KI,J,K 都是环 RR 的理想, 则

I+J=J+I,(I+J)+K=I+(J+K),(IJ)K=I(JK),I(J+K)=IJ+IK,(J+K)I=JI+KI.\begin{aligned} I+J=J+I, \\ (I+J)+K=I+(J+K), \\ (IJ)K=I(JK), \\ I(J+K)=IJ+IK, \\ (J+K)I=JI+KI. \\ \end{aligned}
例

在整环 Z\Z 中,

(n)(m)={∑i=1t(kin)(lim)∣kili∈Z,1⩽i⩽t,t∈N∗}=(nm),\begin{equation} (n)(m)=\left\{\sum\limits_{i=1}^t(k_in)(l_im)\bigg|k_il_i\in\Z,1\leqslant i\leqslant t,t\in\mathbb{N}^*\right\}=(nm), \end{equation} (n)∩(m)=([n,m]),\begin{equation} (n)\cap(m)=([n,m]), \end{equation} (n)+(m)={kn+lm∣k,l∈Z}=((n,m)).\begin{equation} (n)+(m)=\{kn+lm|k,l\in\Z\}=((n,m)). \end{equation}
定义

设 RR 是有单位元的环, I,JI,J 是 RR 的理想. 如果 I+J=RI+J=R, 那么称 II 与 JJ 互素.

例

在整数环 Z\Z 中,

(n,m)=1⇔(n)+(m)=(1)=Z.(n,m)=1 \Leftrightarrow (n)+(m)=(1)=\Z.
命题

设 RR 是有单位元的环, I,J,KI,J,K 都是 RR 的理想. 如果 II 和 JJ 都与 KK 互素, 那么 IJIJ 也与 KK 互素.

证明

考虑证明存在幺元.

例

在整数环 Z\Z 中, (n)(n) 与 (m)(m) 互素当且仅当 (n,m)=1(n,m)=1.

命题

设 RR 是有单位元的交换环, I,JI,J 是 RR 的理想, 则

I+J=R⇒IJ=I∩J.I+J=R\Rightarrow IJ=I\cap J.
例

在整数环 Z\Z 中,

(n)+(m)=Z⇒([n,m])=(nm)⇒(n)∩(m)=(n)(m).(n)+(m)=\Z\Rightarrow ([n,m])=(nm)\Rightarrow (n)\cap (m)=(n)(m).
定义

设 R1,R2,…,RsR_1,R_2,\ldots,R_s 都是环, 在笛卡尔积 R1×R2×⋯×RsR_1\times R_2\times \cdots\times R_s 中规定

(a1,a2…,as)+(b1,b2,…,bs):=(a1+b1,a2+b2,…,as+bs),\begin{equation} (a_1,a_2\ldots,a_s)+(b_1,b_2,\ldots,b_s):=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_s+b_s), \end{equation} (a1,a2,…,as)×(b1,b2,…,bs):=(a1b1,a2b2,…,asbs).\begin{equation} (a_1,a_2,\ldots,a_s)\times(b_1,b_2,\ldots,b_s):=(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_sb_s). \end{equation}

容易验证, 上述加法和乘法构成一个环, 称它为环 R1,R2,…,RsR_1,R_2,\ldots,R_s 的直和, 记作 R1⊕R2⊕⋅⊕RsR_1\oplus R_2\oplus\cdot\oplus R_s, 零元为 (01,02,…,0s)(0_1,0_2,\ldots,0_s).

如果每个环有单位元则 (11,12,…,1s)(1_1,1_2,\ldots,1_s) 是直和的单位元.

如果每个环都是交换环, 那么直和是交换环.

定义

设 II 是环 RR 的一个理想, 对于 a,b∈Ra,b\in R, 如果

a−b∈I,a-b\in I,

那么称 aa 与 bb 模 II 同余, 记作 a≡b( mod  I)a\equiv b(\bmod\ I).

容易验证, 模 II 同余是等价关系. 任给 r∈Rr\in R, rr 的等价类

r‾={x∈R∣x≡r( mod  I)}={x∈R∣x−r∈I}={x∈R∣x−r=b,b∈I}={r+b∣b∈I}=r+I.\begin{aligned} \overline{r} &=\{x\in R|x\equiv r(\bmod\ I)\} \\ &=\{x\in R|x-r\in I\} = \{x\in R|x-r=b,b\in I\} \\ &=\{r+b|b\in I\}=r+I. \end{aligned}

我们称 r+Ir+I 为模 II 同余类.

性质

若 a≡b( mod  I),c≡d( mod  I)a\equiv b(\bmod\ I),c\equiv d(\bmod\ I), 则

a+c≡b+d( mod  I),ac≡bd( mod  I),ca≡db( mod  I)\begin{aligned} a+c\equiv b+d(\bmod\ I),\\ ac\equiv bd(\bmod\ I),\\ ca\equiv db(\bmod\ I) \end{aligned}
定理

设 RR 是有单位元的环, 若它的理想 I1,I2,…,IsI_1,I_2,\ldots,I_s 两两互素, 则有环同构: \begin{equation} R/(I_1\cap I_2\cap\cdots\cap I_s)\cong R/I_1\oplus R/I_2\oplus\cdots\oplus R/I_s. \end{equation}

定理 中国剩余定理

设 m1,m2,…,msm_1,m_2,\ldots,m_s 是两两互素的大于 11 的整数, 任给整数 b1,b2,…,bsb_1,b_2,\ldots,b_s, 则一次同余方程

{x≡b1 ( mod  m1),x≡b2 ( mod  m2),⋯⋯x≡bs ( mod  ms),\begin{equation} \begin{cases} x\equiv b_1\ (\bmod\ m_1), \\ x\equiv b_2\ (\bmod\ m_2), \\ \cdots\cdots \\ x\equiv b_s\ (\bmod\ m_s), \end{cases} \end{equation}

在 Z\Z 中有解, 它的一个解是

a=∑i=1sbivi∏j≠imj,a=\sum\limits_{i=1}^s b_iv_i\prod\limits_{j\neq i}m_j,

其中 viv_i 满足 uimi+vi∏j≠imj=1,i=1,2,…,su_im_i+v_i\prod\limits_{j\neq i}m_j=1,i=1,2,\ldots,s. 它的全部解为

a+km1m2⋯ms,k∈Z.a+km_1m_2\cdots m_s,\quad k\in\Z.
定义

设 II 是交换环 RR 的一个理想. 令

\radI:={r∈R ∣ rn∈I,∃ n∈N∗},\rad I:=\{r\in R\ |\ r^n\in I,\exists\ n\in \mathbb{N}^*\},

称 \radI\rad I 是理想 II 的根, 且 \radI\rad I 是 RR 的一个理想.

定义

若环 RR 中元素 aa, 满足 ∃ n∈N∗, s.t. an=0\exists\ n\in \mathbb{N}^*,\ s.t.\ a^n=0, 那么称 aa 是幂零元. 并且如果 RR 有单位元且 aa 是幂零元, 则 1−a1-a 可逆.

定义

在交换环 RR 中, 所有幂零元组成的集合是 RR 的一个理想, 且它是零理想 (0)(0) 的根, 称为 RR 的幂零根.

定义

设 I1,I2,…,IsI_1,I_2,\ldots,I_s 都是环 RR 的理想, 并且

R=I1+I2+⋯IsIi∩(∑j≠iIj)=(0),i=1,2,…,s.\begin{equation*} \begin{aligned} R=I_1+I_2+\cdots I_s \\ I_i\cap\left(\sum\limits_{j\neq i}I_j\right)=(0),\quad i=1,2,\ldots,s. \end{aligned} \end{equation*}

则

  • (1) 环 RR 的每个元素 xx 都可以唯一表示成
x=x1+x2+⋯+xs,xi∈Ii,i=1,2,…,s.x=x_1+x_2+\cdots+x_s,\quad x_i\in I_i,i=1,2,\ldots,s.
  • (2) 有环同构
R≅I1⊕I2⊕⋯⊕Is,R\cong I_1\oplus I_2\oplus\cdots\oplus I_s,

并称 RR 是其理想 I1,I2,…,IsI_1,I_2,\ldots,I_s 的内直和.

素理想和极大理想 #

注

本节中主要研究含幺环.

定义

若 RR 交换幺环, 且 RR 没有非零的零因子, 则称 RR 是整环.

定义

设 RR 是交换幺环, PP 是 RR 的理想, 且 P≠RP\neq R. 如果从 ab∈Pab\in P 可以推出 a∈Pa\in P 或者 b∈Pb\in P, 那么称 PP 是一个素理想.

例

在整环 Z\Z 中, 设 pp 是大于 11 的整数, 则

p 是素数⇔(p) 是素理想p\ \t{是素数}\Leftrightarrow (p)\ \t{是素理想}
例

在域 FF 上的一元多项式环 F[x]F[x] 中, 设 p(x)p(x) 是次数大于 00 的多项式, 则

p(x) 不可约⇔(p(x)) 是素理想p(x)\ \t{不可约}\Leftrightarrow (p(x))\ \t{是素理想}
推论

设 RR 是交换幺环, 则

(0) 是 R 的一个素理想⇔R 是整环(0)\ \t{是}\ R\ \t{的一个素理想}\Leftrightarrow R\ \t{是整环}
例

整数环 Z\Z 的每一个理想都是由一个非负整数生成的主理想.

证明

取理想中最小的正元素为除数做带余除法.

推论

Z\Z 的全部素理想为 (0),(p)(0),(p), 其中 pp 是素数.

定理

设 RR 是交换幺环, PP 是 RR 的一个理想, 则

商环 R/P 是整环⇔P 是 R 的素理想.\t{商环}\ R/P\ \t{是整环}\Leftrightarrow P\ \t{是}\ R\ \t{的素理想}.
定义

设 RR 是环, MM 是 RR 的理想, 且 M≠RM\neq R. 如果 RR 中包含 MM 的理想只有 MM 和 RR, 那么称 MM 是 RR 的一个极大理想.

定理

设 RR 是交换幺环, II 是 RR 的一个理想, 则

商环 R/I 是域⇔I 是 R 的极大理想\t{商环}\ R/I\ \t{是域}\Leftrightarrow I\ \t{是}\ R\ \t{的极大理想}
证明

利用推论 \ref{交换幺环是域等价于没有非平凡理想} 和极大理想定义即可直接得到.

例

域 FF 上一元多项式环 F[x]F[x] 的每一个理想都是主理想, 其中非 (0)(0) 的主理想可以由首项系数为 11 的多项式生成.

证明

类比例 \ref{整数环理想都是主理想} 取次数最低(非 00 次)的多项式做带余除法.

例

在整数环 Z\Z 中, 设 pp 是大于 11 的整数, 则

p 是素数⇔(p) 是极大理想p\ \t{是素数}\Leftrightarrow (p)\ \t{是极大理想}
例

域 FF 上的一元多项式环 F[x]F[x] 中, 设 p(x)p(x) 是次数大于 00 的多项式, 则

p(x) 不可约⇔(p(x)) 是 F[x] 的极大理想.p(x)\ \t{不可约}\Leftrightarrow (p(x))\ \t{是}\ F[x]\ \t{的极大理想}.
例

域 FF 上的一元多项式环 F[x]F[x] 中, MM 是 F[x]F[x] 的一个理想, 则

F[x]/M 是域⇔M=(p(x)),其中 p(x) 是不可约多项式.F[x]/M\ \t{是域}\Leftrightarrow M=(p(x)),\quad\t{其中}\ p(x)\ \t{是不可约多项式}.
定理

在幺环 RR 中必存在极大理想.

定义

设 RR 是幺环, 令 Ze:={ne∣n∈Z}\Z e:=\{ne|n\in \Z\}. 则有 Ze\Z e 是 RR 的子环, 且存在非负整数 mm 满足环同构 Z/(m)≅Ze\Z/(m)\cong \Z e, 我们称 mm 是环 RR 的特征.

注

环的特征也定义为, 最小的正整数 mm 满足 ∀ r∈R,mr=0\forall\ r\in R,mr=0. 如果不存在这样的正整数, 则称环的特征为 00.

可以理解为环中单位元的加法阶.

命题

如果 RR 是整环, 那么 RR 的特征是 00 或者一个素数.

有限域的构造, 构造扩域的途径 #

由上节, 我们已经知道若 p(x)p(x) 是 F[x]F[x] 上的不可约多项式, 那么 F[x]/(p(x))F[x]/(p(x)) 是一个域.

在具体研究这个域的性质前, 我们先补充几个概念.

定理

设域 FF 的单位元为 ee, 则要么 ∀ n∈N∗\forall\ n\in \mathbb{N}^* 有 ne≠0ne\neq 0, 要么存在一个素数 pp, 使得 pe=0pe=0 且对于 0<l<p, le≠00<l<p,\ le\neq 0.

定义

设域 FF 的单位元为 ee.

如果 ∀ n∈N∗\forall\ n\in \mathbb{N}^* 有 ne≠0ne\neq 0, 则称域 FF 的特征为 00.

如果存在素数 pp, 使得 pe=0pe=0 且对于 0<l<p, le≠00<l<p,\ le\neq 0, 则称域 FF 的特征为 pp.

例

构造含 44 个元素的域.

答案

考虑在 Z2[x]\Z_2[x] 中取不可约多项式 x2+x+1‾x^2+x+\overline{1}, 则 Z2[x]/(x2+x+1‾)\Z_2[x]/(x^2+x+\overline{1}) 是一个域, 任取 f(x)f(x) 做带余除法, 可得余数就是不同等价类的代表元, 由此可知该域仅有四个元素. 当我们记 u=x+(x2+x+1‾)u=x+(x^2+x+\overline{1}), 则

Z2[x]/(x2+x+1‾)={0,1,u,1+u}.\Z_2[x]/(x^2+x+\overline{1})=\{0,1,u,1+u\}.

又 2(1‾+(x2+x+1‾))=(1‾+1‾)+(x2+x+1‾)=0‾+(x2+x+1)2(\overline{1}+(x^2+x+\overline{1}))=(\overline{1}+\overline{1})+(x^2+x+\overline{1})=\overline{0}+(x^2+x+1)

该步中, 1‾+1‾=0‾\overline{1}+\overline{1}=\overline{0} 因为在 Z2\Z_2 中.

由此, 该四元域的特征为 22. 我们有 u2+u+1=(x2+x+1‾)+(x2+x+1‾)=(x2+x+1‾)=0.u^2+u+1=(x^2+x+\overline{1})+(x^2+x+\overline{1})=(x^2+x+\overline{1})=0.

且满足 u+(1+u)=1+2u=1+0=1u+(1+u)=1+2u=1+0=1 (利用域的特征为 22), u(1+u)=u+u2=−1=1u(1+u)=u+u^2=-1=1. (利用 u2+u+1=0u^2+u+1=0)

定理

设 FqF_q 是含 qq 个元素的有限域, 其中 q=prq=p^r, pp 为素数, r⩾1r\geqslant 1. 如果 Fq[x]F_q[x] 的 nn 次不可约多项式为 m(x)=a0+a1x+⋯+anxnm(x) = a_0+a_1x + \cdots+a_nx^n, 那么 Fq[x]/(m(x))F_q[x]/(m(x)) 是含 qnq^n 个元素的域, 并且它的每一个元素可以唯一地表示成

c0+c1u+⋯+cn−1un−1,c_0+c_1u+\cdots+c_{n-1}u^{n-1},

其中 ci∈Fq, i=0,1,…,n−1; u=x+(m(x)),uc_i\in F_q,\ i=0,1,\ldots,n-1;\ u=x+(m(x)),u 满足

a0+a1u+⋯+anun=0.a_0+a_1u+\cdots +a_nu^n = 0.

注意到, 尽管 m(x)m(x) 在 FqF_q 中无根, 但是在我们构造出来的域 Fq[x]/(m(x))F_q[x]/(m(x)) 中, 元素 u=x+m(x)u=x+m(x), 有 m(u)=0m(u)=0, 即 uu 是 m(x)m(x) 的根.

由此, 对于当前域中不可约多项式 m(x)m(x), 我们可以通过该方法构造出一个更大的域, 使其在更大的域中有根.

例

在实数域 R\mathbb{R} 中, 多项式 x2+1x^2+1 不可约, 那么就考虑域 R[x]/(x2+1)\mathbb{R}[x]/(x^2+1).

则取 u=x+(x2+1)u=x+(x^2+1), 那么 R[x]/(x2+1)\mathbb{R}[x]/(x^2+1) 中的元素可唯一表示为

c0+c1u,c0,c1∈R.c_0+c_1u,\quad c_0,c_1\in \mathbb{R}.

且有 u2+1=0u^2+1=0.

更进一步的考虑到复数域的映射 σ:c0+c1u↦c0+c1i\sigma:c_0+c_1u\mapsto c_0+c_1i.

容易验证这是双射, 即

R[x]/(x2+1)≅C.\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}.

更一般的, 我们有如下结论:

定理

设 FF 是一个域, p(x)=xr+br−1xr−1+⋯+b1x+b0p(x)=x^r+b_{r-1}x^{r-1}+\cdots+b_1x+b_0 是 FF 上的一个不可约多项式, 那么 F[x]/(p(x))F[x]/(p(x)) 是一个域, 并且 σ:a↦a+(p(x))\sigma:a\mapsto a+(p(x)) 是 FF 到 F[x]/(p(x))F[x]/(p(x)) 的一个单的环同态, 从而可以把 aa 和 a+(p(x))a+(p(x)) 等同. 又取 u=x+(p(x))u=x+(p(x)), 则 F[x]/(p(x))F[x]/(p(x)) 的每个元素可以唯一表成

c0+c1u+⋯+cr−1ur−1,c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1},

其中 ci∈Fc_i\in F, 并且 uu 是 p(x)p(x) 在 F[x]/(p(x))F[x]/(p(x)) 中的根.

定义

设 RR 和 R~\widetilde{R} 都是有幺环, 如果 R~\widetilde{R} 有一个子环 R~1\widetilde{R}_1 且与 R~\widetilde{R} 具有相同的幺元, 并且 R~1\widetilde{R}_1 与 RR 环同构, 那么把 R~\widetilde{R} 称为 RR 的一个扩环, 此时可以把 RR 看作是 R~\widetilde{R} 的一个子环.

定义

设 FF 和 KK 都是域, 如果 FF 与 KK 的一个子环 K1K_1 环同构, 那么称 KK 是 FF 的一个扩域, 或者称 KK 是 FF 上的一个域扩张, 记作 K/FK/F, 此时可以把 FF 看成是 KK 的一个子域.

定义

设 RR 是交换幺环, R~\widetilde{R} 是 RR 的一个扩环, 且 R~\widetilde{R} 是交换环. 任意取定 a~∈R~\widetilde{a}\in\widetilde{R}, 我们把 R~\widetilde{R} 中包含 R⋃{a~}R\bigcup \{\widetilde{a}\} 的所有子环的交称为 RR 添加 a~\widetilde{a} 得到的子环, 或者 a~\widetilde{a} 在 RR 上生成的子环, 记作 R[a~]R[\widetilde{a}].

定义

考虑 R[α~]R[\widetilde{\alpha}] 中元素的形式, 对于任意的 a0,a1…,an∈Ra_0,a_1\ldots,a_n\in R, 有

a0+a1α~+⋯+anα~n∈R[α~].a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n\in R[\widetilde{\alpha}].

容易验证

R[α~]={a0+a1α~+⋯+anα~n∣a0,a1…,an∈R,n∈N}.R[\widetilde{\alpha}]=\{a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n|a_0,a_1\ldots,a_n\in R,n\in \mathbb{N}\}.

其中 a0+a1α~+⋯+anα~na_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n 称为 α~\widetilde{\alpha} 在 RR 上的一个多项式.

下面我们来研究, 当我们将上述 RR 取成域 FF 时, 在什么条件下 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 是一个域. 由于域中非零元都不是零因子, 因此显然有一个必要条件 R~\widetilde{R} 是\hyperref[整环]{整环}. 所以接下来的讨论都建立在 R~\widetilde{R} 是整环的情况下.

考虑下述对应法则:

σa~:F[x]→R~f(x)=∑i=0naixi↦f(α~):=∑i=0naiα~i.\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{\widetilde{a}}:F[x]&\to& \widetilde{R} \\ f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i& \mapsto& f(\widetilde{\alpha}):=\sum\limits_{i=0}^n a_i\widetilde{\alpha}^i. \end{aligned} \end{equation}

容易验证, σa~\sigma_{\widetilde{a}} 是 F[x]F[x] 到 R~\widetilde{R} 的一个环同态, 并且有 Im⁡σa~=F[α~]\tIm\sigma_{\widetilde{a}}=F[\widetilde{\alpha}] 于是根据\hyperref[环同态基本定理]{环同态基本定理}得

F[x]/Ker⁡σa~≅F[α~].F[x]/\Ker\sigma_{\widetilde{a}}\cong F[\widetilde{\alpha}].

又 Ker⁡σa~={f(x)∈F[x]∣α~ 是 f(x) 的一个根}\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=\{f(x)\in F[x]|\widetilde{\alpha}\t{ 是 } f(x) \t{ 的一个根}\}. 由于 Ker⁡σa~\Ker\sigma_{\widetilde{a}} 是 F[x]F[x] 的一个理想, 且 F[x]F[x] 的理想都是主理想, 因此 Ker⁡σa~=(0)\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(0) 或者 Ker⁡σa~=(m(x))\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(m(x)), 其中 m(x)m(x) 是首项系数为 11 的多项式.

下面, 我们对这两种情况分别讨论.

定义

[leftmargin=1.5cm]

  • (1) 当 Ker⁡σa~=(0)\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(0) 时, 则 α~\widetilde{\alpha} 不是 F[x]F[x] 中任何非零多项式的根, 此时称 α~\widetilde{\alpha} 是 FF 上的超越元. 并且有
F[α~]≅F[x]/(0)≅F[x].F[\widetilde{\alpha}]\cong F[x]/(0)\cong F[x].

由 F[x]F[x] 不是域, 从而 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 不是域.

  • (2) 当 Ker⁡σa~=(m(x))\Ker\sigma_{\widetilde{a}}=(m(x)) 时, 则 α~\widetilde{\alpha} 是 F[x]F[x] 中非零多项式 m(x)m(x) 的一个根, 此时称 α~\widetilde{\alpha} 是 FF 上的代数元. 且 F[x]F[x] 中以 α~\widetilde{\alpha} 为根的多项式都是 m(x)m(x) 的倍式. 因此 m(x)m(x) 是所有以 α~\widetilde{\alpha} 为根的非零多项式中次数最低的, 称之为 α~\widetilde{\alpha} 在 FF 上的极小多项式.

并且有 m(x)m(x) 是不可约的, 否则设 m(x)=m1(x)m2(x)m(x)=m_1(x)m_2(x), 则有 0=m(α~)=m1(α~)m2(α~)0=m(\widetilde{\alpha})=m_1(\widetilde{\alpha})m_2(\widetilde{\alpha}). 由于 R~\widetilde{R} 是整环, 所以有 m1(α~)=0m_1(\widetilde{\alpha})=0 或者 m2(α~)=0m_2(\widetilde{\alpha})=0. 那么不妨设 m1(α~)=0m_1(\widetilde{\alpha})=0 就有 m1(x)∈Ker⁡σa~m_1(x)\in\Ker\sigma_{\widetilde{a}}, 但显然有 m1(x)∉(m(x))m_1(x)\notin (m(x)), 故产生矛盾.

由此, m(x)m(x) 是不可约的, 从而 F[x]/(m(x))F[x]/(m(x)) 是一个域, 又 F[α~]≅F[x]/(m(x))F[\widetilde{\alpha}]\cong F[x]/(m(x)), 故 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 是一个域.

在之前, 我们已经知道, F[x]/(m(x))F[x]/(m(x)) 的每一个元素可以唯一表示成

c0+c1u+⋯+cr−1ur−1c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1}

其中 u=x+m(x)u=x+m(x). 那么根据环同态基本定理中用到的环同态映射

ψ(f(x)+(m(x)))=σa~(f(x))=f(α~).\psi(f(x)+(m(x)))=\sigma_{\widetilde{a}}(f(x))=f(\widetilde{\alpha}).

从而 ψ(c0+c1u+⋯+cr−1ur−1)=ψ(c0+c1x+⋯+cr−1xr−1+(m(x)))=c0+c1α~+⋯+cr−1α~r−1\psi(c_0+c_1u+\cdots+c_{r-1}u^{r-1})=\psi(c_0+c_1x+\cdots+c_{r-1}x^{r-1}+(m(x)))\\=c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}, 特别的, 有 ψ(u)=α~\psi(u)=\widetilde{\alpha}.

因此 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 的每个元素都可以唯一的表示成

c0+c1α~+⋯+cr−1α~r−1.c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}.

综上所述, 我们得到了定理:

定理

设 FF 是一个域, R~\widetilde{R} 是 FF 的一个扩环, 且 R~\widetilde{R} 是整环. 任取 α~∈R~\widetilde{\alpha}\in \widetilde{R}.

[leftmargin=1.5cm]

  • (1) 若 α~\widetilde{\alpha} 是 FF 上的超越元, 则 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 同构于 F[x]F[x], 从而 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 不是域.
  • (2) 若 α~\widetilde{\alpha} 是 FF 上的代数元, 且 α~\widetilde{\alpha} 在 FF 上的极小多项式为 m(x)m(x), 则 m(x)m(x) 在 FF 上不可约, 且 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 是同构于 F[x]/(m(x))F[x]/(m(x)) 的域. F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 中的元素可以唯一的表成
c0+c1α~+⋯+cr−1α~r−1.c_0+c_1\widetilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1}\widetilde{\alpha}^{r-1}.
注

当 F[α~]F[\widetilde{\alpha}] 是域时, 我们将其记作 F(α~)F(\widetilde{\alpha}).

定义

当我们取 F=Q,R~=CF=\mathbb{Q},\widetilde{R}=\mathbb{C} 时, 如果复数 tt 是 Q\mathbb{Q} 上的代数元, 那么称 tt 是一个代数数. 相应的, 如果 tt 是超越元, 那么称之为超越数.

定义

在复数域 C\mathbb{C} 中的一个本原 nn 次单位根 ξn=ei2πn\xi_n=e^{i\frac{2\pi}{n}} 是一个代数数. 于是 Q[ξn]\mathbb{Q}[\xi_n] 是一个域, 称它为第 nn 个分圆域. 由于本原 nn 次单位根有 φ(n)\varphi(n) 个, 分别记作 η1,η2,…,ηφ(n)\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{\varphi(n)}, 令

fn(x)=(x−η1)(x−η2)⋯(x−ηφ(n))f_n(x)=(x-\eta_1)(x-\eta_2)\cdots(x-\eta_{\varphi(n)})

则称 fn(x)f_n(x) 是 nn 阶分圆多项式. 可以证明 fn(x)=mξn(x)f_n(x)=m_{\xi_n}(x), 其中 mξn(x)m_{\xi_n}(x) 是 ξn\xi_n 在 Q\mathbb{Q} 上的极小多项式, 从而

Q(ξn)≅Q[x]/(fn(x)).\mathbb{Q}(\xi_n)\cong \mathbb{Q}[x]/(f_n(x)).
定义

如果一个复数 α\alpha 是一个首项系数为 11 的整系数多项式的根, 那么称 α\alpha 是一个代数整数.

定义

对于任意整数 n,mn,m, 复数 m+nim+n\text{i} 是代数整数, 称这种形式的代数整数为高斯整数.

分式域 #

定义

设 RR 是一个整环, 如果有一个域 FF 使得从 RR 到 FF 有一个单的环同态 σ\sigma, 并且 FF 中每个元素都可以表成 σ(a)σ(b)−1\sigma(a)\sigma(b)^{-1}, 即 ab−1ab^{-1} 的形式, 其中 a∈R,b∈R∗a\in R,b\in R^*, 那么把 FF 称为 RR 的分式域. 我们常常把 ab−1ab^{-1} 记作 ab\dfrac{a}{b}.

例

考虑 Z\Z 到 Q\mathbb{Q} 的映射 σ(a)=a\sigma(a)=a. 那么根据定义 Q\mathbb{Q} 是 Z\Z 的分式域.

定理

设 RR 是一个整环, 则存在 RR 的分式域, 并且在环同构的意义下, RR 的分式域是唯一的.

任一域 FF 上的 nn 元多项式环 F[x1,…,xn]F[x_1,\ldots,x_n] 是一个整环. 于是存在 F[x1,…,xn]F[x_1,\ldots,x_n] 的分式域, 记作 F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n), 它的元素可以表示成

f(x1,…,xn)g(x1,…,xn),\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)},

其中 g(x1,…,xn)≠0g(x_1,\ldots,x_n)\neq 0.

定义

F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n) 的元素 f(x1,…,xn)g(x1,…,xn)\dfrac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)} 称为 nn 元分式, 其中 f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 称为分子, g(x1,…,xn)g(x_1,\ldots,x_n) 称为分母.

若 l(x1,…,xn)≠0l(x_1,\ldots,x_n)\neq 0, 则有

f(x1,…,xn)l(x1,…,xn)g(x1,…,xn)l(x1,…,xn)=f(x1,…,xn)g(x1,…,xn).\begin{equation} \frac{f(x_1,\ldots,x_n)l(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)l(x_1,\ldots,x_n)}=\frac{f(x_1,\ldots,x_n)}{g(x_1,\ldots,x_n)}. \end{equation}

上式称为 nn 元分式的基本性质.

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