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实变函数：集合与点集 / 集合及运算

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集合及运算 #

并与交### 差与补 #

tip
    1. (⋃a∈IAα)c=⋂a∈IAαc\left(\bigcup\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcap\limits_{a\in I} A_\alpha^c.
    1. (⋂a∈IAα)c=⋃a∈IAαc\left(\bigcap\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcup\limits_{a\in I} A_\alpha^c.

集合列的极限 #

definition

设 {Ak}\{A_k\} 是一个集合列. 若

A1⊃A2⊃⋯⊃Ak⊃⋯ ,A_1\supset A_2\supset \cdots\supset A_k\supset\cdots,

则称为递减结合列. 并称交集 ⋂k=1∞Ak\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k 为该集合列的极限集, 记作 lim⁡k→∞Ak\lim\limits_{k\to\infty}A_k.

同理若 A1⊂A2⊂⋯A_1 \subset A_2\subset\cdots 可类似定义递增集合列, 并且其极限集 lim⁡k→+∞=⋃k=1∞Ak\lim\limits_{k\to+\infty}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k.

definition

设 {Ak}\{A_k\} 是一集合列, 令

Bj=⋃k=j∞Ak,(j=1,2,…).B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k,\quad(j=1,2,\ldots).

显然 {Bj}\{B_j\} 是递减集合列, 我们称

lim⁡k→∞Bk=⋂j=1∞Bj=⋂j=1∞⋃k=j∞Ak\lim\limits_{k\to\infty} B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k

为集合列 {Ak}\{A_k\} 的上极限集, 简称为上限集, 记为 lim‾⁡k→∞Ak.\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k.

类似的可以定义下极限集 lim‾⁡k→∞=⋃j=1∞⋂k=j∞Aj\varliminf\limits_{k\to\infty}=\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=j}^{\infty} A_j.

若上下极限集相等, 则说 {Ak}\{A_k\} 的极限集存在记作 lim⁡k→∞Ak\lim\limits_{k\to \infty}A_k.

tip

若 {Ak}\{A_k\} 为一集合列, 则

    1. lim‾⁡k→∞Ak={x:∀ j∈N, ∃ k∈N(k⩾j), x∈Ak}\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k = \{x:\forall\ j\in \mathbb{N},\ \exists\ k\in \mathbb{N}(k\geqslant j),\ x\in A_k\}.
    1. lim‾⁡k→∞Ak={x: ∃ j0∈N, s.t. x∈Ak when k⩾j0}\varliminf\limits_{k\to\infty} A_k=\{x:\ \exists\ j_0\in \mathbb{N},\ s.t.\ x\in A_k\ \t{when}\ k\geqslant j_0\}

这意味着, {Ak}\{A_k\} 的上限集是由属于 {Ak}\{A_k\} 中无穷多个集合的元素所形成的; {Ak}\{A_k\} 的下限集是由只不属于 {Ak}\{A_k\} 中有限多个集合的元素所形成的. 从而有

lim‾⁡k→∞Ak⊃lim‾⁡k→∞Ak.\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k\supset \varliminf\limits_{k\to\infty}A_k.
example

设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 以及 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的实值函数, 则使 fn(x)f_n(x) 不收敛于 f(x)f(x) 的一切点 xx 所形成的集合 DD 可表示为

D=⋃k=1∞⋂N=1∞⋃n=N∞{x:∣fn(x)−f(x)∣⩾1k}.D=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\}.
note

考虑

x∈{fn(x) 不收敛于 f(x)}⇔∃ε>0,∀N⩾1,∃ n0⩾N,s.t. ∣fn(x)−f(x)∣⩾ε⇔x∈⋂N=1∞⋃n=N∞{x∈R:∣fn(x)−f(x)∣⩾ε}⇔∃k⩾1, ε⩾1k,s.t. x∈{x:∣fn(x)−f(x)∣⩾1k}⇔x∈⋃k=1∞⋂N=1∞⋃n=N∞{x:∣fn(x)−f(x)∣⩾1k}\begin{aligned} &x\in\{f_n(x)\ \t{不收敛于}\ f(x)\}\\ \Leftrightarrow&\exists\varepsilon>0,\forall N\geqslant 1,\exists\ n_0\geqslant N,s.t.\ |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\\ \Leftrightarrow&x\in\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\{x\in\mathbb{R}:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}\\ \Leftrightarrow&\exists k\geqslant1,\ \varepsilon\geqslant\dfrac{1}{k},s.t.\ x\in\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\}\\ \Leftrightarrow& x\in \bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\} \end{aligned}

例题 #

example

En=[n,+∞),∀n⩾1E_n=[n,+\infty),\quad \forall n\geqslant 1 则 lim⁡n→+∞En=⋂n=1∞En=∅\lim\limits_{n\to+\infty} E_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty E_n=\varnothing.

example

R\mathbb{R} 上渐升实值函数列 {fn}\{f_n\} 满足

lim⁡n→+∞fn(x)=f(x),∀x∈R\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x),\quad\forall x\in\mathbb{R}
example

设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 以及 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的实值函数, 则使 fn(x)f_n(x) 不收敛于 f(x)f(x) 的一切点 xx 所形成的集合 DD 可表示为

D=⋃k=1∞⋂N=1∞⋃n=N∞{x:∣fn(x)−f(x)∣≥1k}.D = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{N=1}^{\infty} \bigcup_{n=N}^{\infty} \left\{ x : |f_n(x) - f(x)| \ge \frac{1}{k} \right\}.

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