集合及运算

定理 \text{De. Morgan} 法则

1. $\left(\bigcup\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcap\limits_{a\in I} A_\alpha^c$ .
1. $\left(\bigcap\limits_{a\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcup\limits_{a\in I} A_\alpha^c$ .

定义

设 $\{A_k\}$ 是一个集合列. 若

A_1\supset A_2\supset \cdots\supset A_k\supset\cdots,

则称为递减结合列. 并称交集 $\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k$ 为该集合列的极限集, 记作 $\lim\limits_{k\to\infty}A_k$ .

同理若 $A_1 \subset A_2\subset\cdots$ 可类似定义递增集合列, 并且其极限集 $\lim\limits_{k\to+\infty}=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k$ .

定义

设 $\{A_k\}$ 是一集合列, 令

B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k,\quad(j=1,2,\ldots).

显然 $\{B_j\}$ 是递减集合列, 我们称

\lim\limits_{k\to\infty} B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k

为集合列 $\{A_k\}$ 的上极限集, 简称为上限集, 记为 $\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k.$

类似的可以定义下极限集 $\varliminf\limits_{k\to\infty}=\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=j}^{\infty} A_j$ .

若上下极限集相等, 则说 $\{A_k\}$ 的极限集存在记作 $\lim\limits_{k\to \infty}A_k$ .

定理

若 $\{A_k\}$ 为一集合列, 则

1. $\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k = \{x:\forall\ j\in \mathbb{N},\ \exists\ k\in \mathbb{N}(k\geqslant j),\ x\in A_k\}$ .
1. $\varliminf\limits_{k\to\infty} A_k=\{x:\ \exists\ j_0\in \mathbb{N},\ s.t.\ x\in A_k\ \t{when}\ k\geqslant j_0\}$

这意味着, $\{A_k\}$ 的上限集是由属于 $\{A_k\}$ 中无穷多个集合的元素所形成的; $\{A_k\}$ 的下限集是由只不属于 $\{A_k\}$ 中有限多个集合的元素所形成的. 从而有

\varlimsup\limits_{k\to\infty} A_k\supset \varliminf\limits_{k\to\infty}A_k.

例

设 $\{f_n(x)\}$ 以及 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数, 则使 $f_n(x)$ 不收敛于 $f(x)$ 的一切点 $x$ 所形成的集合 $D$ 可表示为

D=\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\}.

证明

考虑

\begin{aligned} &x\in\{f_n(x)\ \t{不收敛于}\ f(x)\}\\ \Leftrightarrow&\exists\varepsilon>0,\forall N\geqslant 1,\exists\ n_0\geqslant N,s.t.\ |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\\ \Leftrightarrow&x\in\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\{x\in\mathbb{R}:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}\\ \Leftrightarrow&\exists k\geqslant1,\ \varepsilon\geqslant\dfrac{1}{k},s.t.\ x\in\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\}\\ \Leftrightarrow& x\in \bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{N=1}^\infty\bigcup\limits_{n=N}^\infty\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\dfrac{1}{k}\right\} \end{aligned}

例 P9 例5

$E_n=[n,+\infty),\quad \forall n\geqslant 1$ 则 $\lim\limits_{n\to+\infty} E_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty E_n=\varnothing$ .

例 P9 例6

$\mathbb{R}$ 上渐升实值函数列 $\{f_n\}$ 满足

\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=f(x),\quad\forall x\in\mathbb{R}

例 P11 例8

设 $\{f_n(x)\}$ 以及 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数, 则使 $f_n(x)$ 不收敛于 $f(x)$ 的一切点 $x$ 所形成的集合 $D$ 可表示为

D = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{N=1}^{\infty} \bigcup_{n=N}^{\infty} \left\{ x : |f_n(x) - f(x)| \ge \frac{1}{k} \right\}.

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