复变函数：第 1 次作业

第一章 #

习题 1.1 #

求下列复数 $z$ 的模 $|z|$ 与辐角的主值 $\arg z$ .

(1) $z=\sqrt 3+\text{i}$ .
(2) $z=\dfrac{1+\text{i}}{1-\text{i}}$ .

答案

(1) $|z|=2,\ \arg z=\dfrac{\pi}{6}$ .
(3) $z=\text{i},\ |z|=1,\ \arg z=\dfrac{\pi}{2}$ .

求下列方程的根:

$(2)\ z^2=\sqrt{1+i}$ .

答案

利用棣莫弗定理, $1+\text{i}=2^{\frac 1 2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{4})$ , 故 $(1+\text{i})^{\frac 1 2}=2^{\frac 1 4}(\cos\dfrac{\pi}{8}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{8})$ .

所以 $\arg z = \dfrac{\frac{\pi}{8}+2k\pi}{2},\quad k=0,1$ 且 $|z|=2^{\frac 1 8}$ .

$z_1=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{16}),$ $z_2=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{9\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{9\pi}{16})$ .

求二次方程 $z^2+2\text{i} z-1+i=0$ 的两个根.

答案

$(z+\text{i})^2=-\text{i} \Rightarrow z=-\text{i}\pm\sqrt{-i}\Rightarrow z=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-1+\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ .

设 $z=x+\text{i} y$ , 其中 $x$ 与 $y$ 分别是 $z$ 的实部与虚部. 证明

\dfrac{1}{\sqrt 2}(|x|+|y|)\leqslant|z|\leqslant(|x|+|y|).

答案

等价于证明 $\dfrac{1}{2}(|x|+|y|)^2\leqslant (x^2+y^2)\leqslant(|x|+|y|)^2$ .

对于第二个小于等于, 直接展开可以得到 $0\leqslant 2|x||y|$ . 显然成立.

对于第一个小于等于, 展开可得 $2|x||y|\leqslant x^2+y^2\Leftrightarrow 0\leqslant (|x|-|y|)^2$ 显然成立.

设 $z_1$ 与 $z_2$ 是任意两个复数. 证明等式

|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2),

并说明其几何意义.

答案

\begin{aligned} |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 &= (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) \\ &= 2|z_1|^2+2|z_2|^2 + z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}-z_2\overline{z_1}-z_1\overline{z_2} \\ &= 2(|z_1|^2+|z_2|^2). \end{aligned}

几何意义就是平行四边对角线长度平方和等于四边长度平方和.

设 $|\alpha|<1,|\beta|<1$ , 证明不等式:

\left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|<1.

答案

\begin{aligned} \Leftrightarrow & |\alpha-\beta|^2<|1-\overline{\alpha}\beta|^2\\ \Leftrightarrow & (\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})<(1-\overline{\alpha}\beta)(1-\alpha\overline{\beta})\\ \Leftrightarrow & |\alpha|^2+|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta<1+|\alpha|^2|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta\\ \Leftrightarrow & 0<(1-|\alpha|^2)(1-|\beta|^2). \end{aligned}

由 $|\beta|,|\alpha|<1$ 可知最后一步成立, 所以不等式成立.

设 $|\alpha|<1,|\beta|=1$ , 证明等式:

\left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|=1.

答案

$|1-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}\beta-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}-\overline{\alpha}||\beta|=|\alpha-\beta|$ .

习题 1.2 #

在下列集合中, 哪些是区域? 哪些不是区域?

(1) $\{z:|z-\text{i}|<|5+\text{i}|\}$ .
(2) $\{z:0<|z+1+\text{i}|\leqslant 2\}$ .
(3) $\left\{z:\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|<1\right\}$ .
(4) $\{z=x+\text{i} y:y\neq\sin\dfrac{1}{x}\}$ .
(5) $\mathbb{C}\backslash[0,1]$ .
(6) $\mathbb{C}\backslash (1,+\infty)$ .

答案

(1) 是.
(2) 不是, 因为边界 $2$ 不是开集.
(3) 是, $x>0$ .
(4) 不是, 如果 $x=0$ 时属于这个集合, 那么考虑 $(0,0)$ 不是内点, 集合不是开集. 如果不属于, 那么集合不连通, 被 $x=0$ 和 $y=\sin\dfrac 1 x$ 分成四个部分.
(5) 是.
(6) 不是.

$x=x(t),y=y(t)$ 是区间 $(0,1)$ 上的两个连续的实函数, 则我们称映射

\gamma:(0,1)\to\mathbb{C},\ t\mapsto z(t)=x(t)+\text{i} y(t)

的像为一条曲线. 试举出一条曲线 $\gamma:t\mapsto z(t)$ , 它有下列性质: 当 $t\to0$ 时 $z(t)$ 没有极限. 这样的例子表明: 一条曲线可能无端点可言.

答案

取 $z(t)=t+\text{i}\sin\dfrac 1 t$ .

设有集合 $E:=\{z=x+\text{i} y\in\mathbb{C}:x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{Q}\}$ , 其中 $\mathbb{Q}$ 是全体有理数的集合. 证明该集合没有一个内点, 且其聚点集合 $E'=\mathbb{C}$ .

答案

$\forall z_0=x_0+\text{i} y_0\in\mathbb{C},\forall \varepsilon>0,\exists z=x+\text{i} y\in\mathbb{C} s.t.\ |z-z_0|<\varepsilon$ , 根据有理数的稠密性, 所以 $\mathbb{C} \subseteq E'\Rightarrow E'=\mathbb{C}$ , 同样的根据无理数的稠密性, 也一定存在 $z=x+\text{i} y\in\mathbb{C},x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\ s.t. |z-z_0|<\varepsilon$ . 所以 $E$ 中无内点.

设 $\{z_n\}$ 是一个复数序列. 若存在一个收敛子序列 $\{z_{n_k}\}$ , 则其极限 $\zeta=\lim\limits_{k\to\infty}z_{n_k}$ 被称作原来序列的一个极限点. 试举出一个序列, 其极限点集合是整个复平面.

答案

根据有理数的可数性, 集合 $\{z=x+\text{i} y:x,y\in\mathbb{Q}\}$ 也是可数集, 所以我们可以把这个集合排成一列, 而对于复平面上的每个点 $w$ , 由于有理数的稠密性, 我们一定可以选取一个无穷子列 $\{z_{n_k}\}$ 满足 $|w-z_{n_k}|<\dfrac{1}{k}$ 从而极限是 $w$ .

第一章 #

习题 1.1 #

习题 1.2 #

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