抽象代数：概念与定理索引

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基本代数结构 #

• $R$ 环
• $a^{-1}$ 可逆元、单位
• 单位群
• 零因子
• $F$ 域
• $G$ 群
• $\langle a\rangle$ 循环群
• $|a|$ 元素的阶
• $F^*$ $F^*$

群作用与计数 #

• 群作用
• 作用的核
• 忠实的作用
• $Z(G)$ 中心
• 自同构, 内自同构
• $\Aut$ 自同构群
• $\Inn$ 内自同构群
• $G(x)$ 轨道, 完全代表系
• $G_x$ 稳定子群
• 轨道-稳定子定理
• $G(x)$ 共轭类
• 类方程
• $C_G(x)$ 中心化子
• 作用的传递, 齐性空间
• $F(g)$ 不动点集
• Burnside 引理
• $\Omega_0$ 作用的不动点, 不动点集
• $|G|=p^m$ $p$-群

有限群与 Sylow 定理 #

• Sylow 第一定理
• Sylow 第二定理
• Sylow 第三定理
• 四元数

环、理想与商环 #

• 环同态
• $I$ 理想
• 单环
• 左理想
• $R/I$ 商环, 同余类
• $\pi:R\to R/I$ 自然环同态
• 环同态基本定理
• 第一环同构定理
• 第二环同构定理
• $(S)$ 由 $S$ 生成的理想
• $(a)$ 主理想
• $I+J,IJ$ 理想的运算
• $I+J=R$ 理想的互素
• $a\equiv b(\bmod I)$ 同余
• 中国剩余定理
• $\operatorname{rad} I$ 理想的根
• 幂零元、幂零根
• 理想的内直和

整环与域扩张 #

• 整环
• $P$ 素理想
• $M$ 极大理想
• 环的特征
• 扩环
• 扩域、域扩张、子域
• $R[\widetilde\alpha]$ 元素生成的子环
• $a_0+a_1\widetilde{\alpha}+\cdots+a_n\widetilde{\alpha}^n$ 元素在 $R$ 上的多项式
• 超越元、代数元、极小多项式
• 超越数、代数数
• $\mathbb Q[\xi_n]$ 分圆域