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实变函数：微分与不定积分 / 单调函数的可微性

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单调函数的可微性 #

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若 f(x)f(x) 是定义在 [a,b][a,b] 上的递增函数则 f(x)f(x) 的不可微点为零测集, 且有

∫abf′(x)dx⩽f(b)−f(a).\int_a^b f'(x)\text{d} x\leqslant f(b)-f(a).
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设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 是 [a,b][a,b] 上的递增函数列, 且 ∑n=1∞fn(x)\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) 在 [a,b][a,b] 上收敛, 则

ddx(∑n=1∞fn(x))=∑n=1∞ddxfn(x),\maex∈[a,b].\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\text{d}}{\text{d} x}f_n(x),\quad\mae x\in[a,b].

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