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多元函数极限

从欧氏空间中的开闭集、紧致性与连通性出发，整理多元函数极限、连续映射及其基本判别定理。

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数学分析资料
本页目录 5 节

\section{Rn\mathbb{R}^n 中的点集}

邻域、开集 #

定义 ε-邻域、去心邻域

设 a∈Rn,εa \in \mathbb{R}^n,\varepsilon 是一个正实数, 我们称集合

{x∈Rn:∣x−a∣<ε}\{ x\in\mathbb R^n:|\bm x - \bm a|<\varepsilon\}

为 a\bm a 的 ε\varepsilon-邻域, 记作 B(a,ε)B(\bm a,\varepsilon).

称 B(a,ε)\{a}={x∈Rn:0<∣x−a∣<ε}B(\bm a,\varepsilon)\backslash \{\bm a\} = \{\bm x \in \mathbb R^n : 0 < |\bm x- \bm a|< \varepsilon\} 为 a\bm a 的去心邻域.

定义 内点、内部

设 E⊆RnE\subseteq \mathbb R^n 且 a∈E\bm a \in E. 若存在 ε>0\varepsilon>0 使得 B(a,ε)⊆EB(\bm a,\varepsilon) \subseteq E, 则称 a\bm a 是 EE 的内点. EE 的全体内点所成之集被称作 EE 的内部，记作 E∘E^\circ.

定义 外点、外部

设 E⊆RnE \subseteq \mathbb R^n. 若 a\bm a 是 EcE^c 的内点, 则称 a\bm a 为 EE 的外点. EE 的全体外点所成之集被称作 EE 的外部.

定义 边界点、边界

设 E⊆RnE \subseteq \mathbb R^n. 若 a\bm a 既不是 EE 的内点, 也不是 EE 的外点, 则称 a\bm a 为 EE 的边界点. EE 的全体边界点所成之集被称作 EE 的边界, 记作 ∂E\partial E.

定义 开集

设 D⊆{ R }nD \subseteq \set R n, 若 GG 中每个点均为内点, 则称 GG 是 Rn\mathbb R^n 中的开集. 即 GG 是开集, 当且仅当 G=G∘G=G^\circ.

命题

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 则 E∘E^\circ 是开集.

命题

我们有 [leftmargin=1.5cm,itemindent=0cm]

  • (1) ∅\varnothing 和 { R }n\set R n 都是开集.
  • (2) 设 (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda\in L} 是一族开集, 则 ⋃λ∈LGλ\bigcup\limits_{\lambda\in L} G_\lambda 也是开集.
  • (3) 设 G1,⋯ ,GmG_1,\cdots,G_m 是开集, 则 ⋂j=1mGj\bigcap\limits_{j=1}^m G_j 也是开集.
定义 邻域

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n, 若开集 GG 满足 E⊆GE \subseteq G, 则称 GG 是 EE 的一个邻域. 特别的, 当 E={a}E=\{\bm a\} 时我们称 GG 是 a\bm a 的一个邻域.

聚点、闭集 #

定义 闭集

设 F⊆{ R }nF \subseteq \set R n, 若 FcF^c 是 { R }n\set R n 中的开集, 则称 FF 是 { R }n\set R n 中的闭集.

命题

我们有 [leftmargin=1.5cm,itemindent=0cm]

  • (1) ∅\varnothing 和 { R }n\set R n 都是闭集.
  • (2) 设 (Gλ)λ∈L(G_\lambda)_{\lambda\in L} 是一族闭集, 则 ⋂λ∈LGλ\bigcap\limits_{\lambda\in L} G_\lambda 也是闭集.
  • (3) 设 G1,⋯ ,GmG_1,\cdots,G_m 是开集, 则 ⋃j=1mGj\bigcup\limits_{j=1}^m G_j 也是闭集.
定义 聚点、导集

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n, a∈{ R }n\bm a \in \set R n. 若对任意的 ε>0\varepsilon>0 均有

(B(a,ε)\{a})∩E≠∅,(B(\bm a,\varepsilon)\backslash\{\bm a\}) \cap E \neq \varnothing,

则称 a\bm a 是 EE 的聚点. 称 EE 的全体聚点所成之集为 EE 的导集, 记作 E′E'

定义 孤立点

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 如果 a∈E\E′\bm a \in E\backslash E', 则称 a\bm a 是 EE 的孤立点.

定义 闭包

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 称 E∪E′E \cup E' 为 EE 的闭包, 记作 E‾\overline{E}.

命题

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 则 E‾\overline{E} 是闭集.

命题

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 则 EE 是闭集当且仅当 E=E‾E= \overline{E}.

命题

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, 则 E‾=E∘∪∂E\overline{E}=E^\circ \cup \partial E.

定义 极限、收敛

设 {xm}\{\bm {x_m}\} 是 { R }n\set R n 中的一个点列, 如果存在 a∈{ R }n\bm a \in \set R n, 使得对任意的 ε>0\varepsilon>0, 均存在正整数 NN 满足

∣xm−a∣<ε,∀m>N.|\bm{x_m} - \bm a|<\varepsilon,\qquad \forall m>N.

则称 a\bm a 为 {xm}\{x_m\} 的极限, 并称 {xm}\{x_m\} 收敛于 a\bm a.

定义 柯西列

若 { R }n\set R n 中的点列 {xm}\{x_m\} 满足: 对任意的 ε>0\varepsilon>0, 均存在正整数 NN 使得

∣xl−xm∣<ε,∀l,m>N,|\bm{x_l}-\bm{x_m}|<\varepsilon, \qquad \forall l,m>N,

则称 {xm}\{x_m\} 是柯西列.

定理 柯西收敛准则

{ R }n\set R n 中的点列 {xm}\{x_m\} 收敛当且仅当它是柯西列.

定理 压缩映像原理

设 EE 是 { R }n\set R n 中的闭集, f:E→Ef:E \to E. 如果存在 θ∈(0,1)\theta \in (0,1) 使得

∣f(x)−f(y)∣≤θ∣x−y∣,∀x,y∈E,|f(\bm x)-f(\bm y)|\le \theta|\bm x- \bm y|,\qquad \forall \bm x,\bm y \in E,

那么存在唯一的 a∈E\bm a \in E 使得 f(a)=af(\bm a)=\bm a. 我们称 a\bm a 为 ff 的不动点.

定义 闭矩形

形如 [a1,b1]×[a2,.b2]×⋯×[an,bn][a_1,b_1]\times[a_2,.b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n] 的集合为 { R }n\set R n 中的闭矩形.

定义 直径

对 { R }n\set R n 的任意非空子集 EE 记

diam(E)=sup⁡x,y∈E∣x−y∣,\text{diam}(E)=\sup\limits_{\bm x,\bm y \in E}|\bm x-\bm y|,

并称之为 EE 的直径.

定理 闭矩形套定理

设闭矩形列 {Im}\{I_m\} 满足 Im+1⊆Im(∀m∈Z>0)I_{m+1}\subseteq I_m(\forall m \in \seta Z {>0}) 以及 lim⁡m→∞diam(Im)=0\lim\limits_{m\to \infty} \text{diam}(I_m)=0, 那么存在唯一的 a∈{ R }n\bm a \in \set R n 使得

⋂m=1∞Im={a}.\bigcap\limits_{m=1}^\infty I_m=\{\bm a\}.
定义 紧集

设 K⊆{ R }nK\subseteq \set R n, 如果 KK 的每个开覆盖均有有限子覆盖, 那么我们称 KK 是一个紧集,

命题

{ R }n\set R n 中的闭矩形是紧集.

定义 有界

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n. 若存在 M>0M>0, 使得对任意的 x∈E\bm x\in E 均有 ∣x∣≤M|\bm x|\le M, 则称 EE 是有界的.

定理

设 K⊆{ R }nK\subseteq \set R n, 则 KK 是紧集当且仅当它是有界闭集.

定理 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

{ R }n\set R n 的任意一个有界无限子集必有聚点.

连通集 #

定义 开(闭)子集

设 A⊆E⊆{ R }nA\subseteq E \subseteq \set R n. 若存在 { R }n\set R n 中的开集(相应的, 闭集) SS 使得 A=E∩SA=E\cap S, 则称 AA 是 EE 上的开子集(相应的, 闭子集).

命题

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n, A,B⊆EA,B \subseteq E, 那么 [leftmargin=1.5cm]

  • (1) AA 是 EE 的开子集当且仅当对任意的 a∈A\bm a \in A, 存在 a\bm a 的邻域 UU 使得 E∩U⊆AE \cap U \subseteq A.
  • (2) BB 是 EE 的闭子集当且仅当 E\BE \backslash B 是 EE 的开子集.
定义 连通集

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n. 若不存在 EE 的两个非空开子集 AA 和 BB 使得 A∪B=EA \cup B=E 且 A∩B=∅A\cap B=\varnothing, 则称 EE 是 { R }n\set R n 中的连通集.

定义 区域、闭区域

{ R }n\set R n 中的连通开集被称作区域. 如果 EE 是区域，那么也将 E‾\overline{E} 称作闭区域. 要注意的是, 闭区域不是区域.

命题

设 EE 是 R\mathbb R 的非空子集, 那么 EE 是 R\mathbb R 中的连通集当且仅当 EE 是区间.

命题

设 EE 是 { R }n\set R n 中的连通集, 且 E⊆S⊆E‾E \subseteq S \subseteq \overline{E}, 那么 SS 也是 { R }n\set R n 中的连通集. 特别的 E‾\overline{E} 是 { R }n\set R n 中的连通集.

多元函数的极限 #

定义 极限

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, f:E→{ R }mf:E \to \set R m, a\bm a 是 EE 的聚点. 若存在 b∈{ R }m\bm b\in \set R m, 使得对任意的 ε>0\varepsilon>0, 均存在 δ>0\delta>0 满足

∣f(x)−b∣<ε,∀x∈(B(a,δ)\{a})∩E,|f(\bm x)-\bm b|<\varepsilon, \qquad \forall \bm x \in (B(\bm a,\delta)\backslash \{\bm a\})\cap E,

则称 b\bm b 为 ff 沿 EE 中元素趋于 a\bm a 的极限.

命题 极限的唯一性

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, f:E→{ R }mf:E\to \set R m, a\bm a 是 EE 的聚点. 如果 b\bm b 与 c\bm c 是 ff 沿 EE 中元素趋于 a\bm a 的极限, 则 b=c\bm b=\bm c.

定理 海涅归结原理

lim⁡x→ax∈Ef(x)=b\lim\limits_{\substack{\bm x \to \bm a \\ \bm x \in E}}f(\bm x)=\bm b 的充要条件是: 对于 EE 中满足 lim⁡k→∞xk=a\lim\limits_{k \to \infty} \bm x_k=\bm a 且 xk≠a (∀k)\bm x_k \neq \bm a\ (\forall k) 的任一序列 {xk}\{x_k\} 均有 lim⁡k→∞f(xk)=b\lim\limits_{k\to \infty}f(\bm x_k)=\bm b.

定理 柯西收敛准则

lim⁡x→aEf(x)\lim\limits_{\substack{\bm x \to \bm a \\ E}}f(\bm x) 存在的重要条件是: 对任意的 ε>0\varepsilon>0, 存在 δ>0\delta>0, 使得对于任意的 x,y∈(B(a,δ)\{a})∩E\bm x,\bm y\in (B(\bm a,\delta)\backslash\{\bm a\})\cap E 有

∣f(x)−f(y)∣<ε.|f(\bm x)-f(\bm y)|<\varepsilon.
定理 夹逼定理

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, a\bm a 是 EE 的聚点, ff, gg, hh 均是定义在 EE 上的函数, 并且存在 δ>0\delta>0, 使得存在 (B(a,δ)\{a})∩E(B(\bm a,\delta)\backslash\{\bm a\})\cap E 内有 f(x)≤g(x)≤h(x)f(\bm x)\le g(\bm x) \le h(\bm x). 如果

lim⁡x→ax∈Ef(x)=lim⁡x→ax∈Eh(x)=A,\lim\limits_{\substack{\bm x\to\bm a \\ \bm x \in E}}f(\bm x)=\lim\limits_{\substack{\bm x\to\bm a \\ \bm x \in E}}h(\bm x)=A,

那么 lim⁡x→ax∈Eg(x)=A\lim\limits_{\substack{\bm x\to \bm a \\ \bm x \in E}}g(\bm x)=A.

连续映射 #

定义 连续

设 E⊆{ R }nE \subseteq \set R n, f:E→{ R }mf:E\to \set R m. 又设 a∈E\bm a \in E. 若对任意的 ε>0\varepsilon>0, 存在 δ>0\delta>0, 使得对任意的 x∈E∩B(a,δ)\bm x \in E \cap B(\bm a, \delta) 均有

∣f(x)−f(a)∣<ε,|f(\bm x)-f(\bm a)|<\varepsilon,

则称 ff 在 a\bm a 处连续. 若 ff 在 EE 的每一点处均连续, 则称 ff 在 EE 上连续.

注

按照上述定义, EE 上的任一映射 ff 在 EE

定理

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n 且 f:E→{ R }mf:E\to \set R m, 则下列命题等价: [leftmargin=1.5cm,itemindent=0cm]

  • (1) ff 在 EE 上连续.
  • (2) 对 { R }m\set R m 中任意的开集 GG, f−1(G)f^{-1}(G) 均是 EE 的开子集.
  • (3) 对 { R }m\set R m 中任意的闭集 FF, f−1(F)f^{-1}(F) 均是 EE 的闭子集.
命题

设 E⊆{ R }nE\subseteq \set R n 且 f=(f1,⋯ ,fm)T:E→{ R }mf=(f_1,\cdots,f_m)^T:E\to \set R m, 那么 ff 是 EE 上的连续函数当且仅当每个 fj (1≤j≤m)f_j\ (1 \le j \le m) 均是 EE 上的连续函数.

定理

设 f:{ R }n→{ R }mf:\set R n \to \set R m 是连续映射. 若 KK 是 { R }n\set R n 中的紧集, 则 f(K)f(K) 是 { R }m\set R m 中的紧集.

定义 凸集

{ R }n\set R n 的子集 SS 被称为凸集当且仅当对任意的 x,y∈S\bm x,\bm y \in S 均有

{(1−λ)x+λy:λ∈[0,1]}⊆S.\{(1-\lambda)\bm x+\lambda\bm y:\lambda\in [0,1]\} \subseteq S.

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