可测函数与连续函数

由 $m(\{x\in E:|f(x)|=+\infty\})=0$, 不妨设 $f(x)$ 是实值函数.

先考虑可测简单函数的情形:

$$f(x)=\sum\limits_{i=1}^p c_i\Chi_{E_k}(x),\ x\in E=\bigcup\limits_{i=1}^p E_i,\ E_i\cap E_j=\varnothing.$$

此时对任给的 $\delta>0$, 及每个 $E_i$ 可作 $E_i$ 中的闭集 $F_i$, 使得

$$m(E_i\setminus F_i)<\dfrac{\delta}p,$$

显然 $f(x)$ 在 $F=\bigcup\limits_{i=1}^p F_i$ 上连续, 且 $F$ 是闭集.

接着考虑一般可测函数, 由于可作变换

$$g(x)=\frac{f(x)}{1+|f(x)|}$$

故不妨假定 $f(x)$ 是有界函数. 于是存在可测简单函数列 $\{\varphi_k(x)\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f(x)$. 现对任给的 $\delta>0$ 以及每个 $\varphi_k(x)$, 均作 $E$ 中的闭集 $F_k:m(E\setminus F_k)<\dfrac \delta{2^k}$, 使得 $\varphi_k(x)$ 连续, 令 $F=\bigcap\limits_{k=1}^\infty F_k$, 根据一致连续性有 $f(x)$ 在 $F$ 上连续, 且 $m(E\setminus F)\leqslant\sum\limits_{E\setminus F_k}<\delta$.