混合问题 | nan2inf.cn

混合问题 #

与波动方程的区别在于此时 $T$ 对应的 ODE 是一阶的, 故解是指数函数而不是三角函数.

练习

用分离变量法求解下列混合问题.

\text{(2)}\quad \begin{cases} u_t = a^2 u_{xx}, & 0 < x < \pi,\ t > 0, \\ u\big|_{t=0} = \sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ u_x\big|_{x=0} = u_x\big|_{x=\pi} = 0, & t > 0. \end{cases}

答案

u(x,t)=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{1}{1-4m^2}e^{-a^2(2m)^2t}\cos(2mx)

注意此时是以 $\{\cos nx\}$ 作为正交基, 所以会有 $n=0$ 的项.

\text{(3)}\quad \begin{cases} u_t = a^2 u_{xx}, & 0 < x < l,\ t > 0, \\ u\big|_{t=0} = x^2 (l - x), & 0 \leqslant x \leqslant l, \\ u_x\big|_{x=0} = u\big|_{x=l} = 0, & t > 0. \end{cases}

答案

该边值条件算出以 $\{\cos\mu_n x\}$ 为基, 其中 $\mu_n=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ , 也有 $(\cos\mu_n x,\cos\mu_n x)=\frac{l}{2}$ , 故展开的系数还是 $\frac 2l$ . 且没有 $n=0$ 的项.

u_n(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty\varphi_n e^{-\left(a(2n+1)\pi/(2l)\right)^2t}\cos\frac{(2n+1)\pi}{2l}x,\quad \varphi_n=\frac{(-1)^n 64(2n+1)\pi l^3-192l^3}{(2n+1)^4\pi^4}

\text{(3)'}\quad \begin{cases} u_t = a^2 u_{xx}, & 0 < x < l,\ t > 0, \\ u\big|_{t=0} = x^2 (l - x), & 0 \leqslant x \leqslant l, \\ u\big|_{x=0} = u\big|_{x=l} = 0, & t > 0. \end{cases}

答案

A_n=\begin{cases} \dfrac{4l^3}{n^3\pi^3}, &n\in odd\\ -\dfrac{12l^3}{n^3\pi^3}, & n\in even \end{cases}

u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_ne^{-\left(\frac{an\pi}{l}\right)^2t}\sin\frac{n\pi}{l}x

\text{(4)}\quad \begin{cases} u_t = a^2 u_{xx}, & 0 < x < l,\ t > 0, \\ u\big|_{t=0} = 0, & 0 \leqslant x \leqslant l, \\ u\big|_{x=0} = 0,\quad u\big|_{x=l} = At, & t > 0. \end{cases}

答案

设 $u(x,t)=v(x,t)+\varphi(x,t)$ , 其中 $\varphi(x,t)=\frac{Atx}{l}$ , 从而 $v(x,t)$ 在 $x=l$ 边界上为 0.

解得

v(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2Al^2(-1)^n}{a^2\pi^3n^3}\left(1-e^{-\left(an\pi/l\right)^2 t}\right)\sin\frac{n\pi}{l}x

故 $u(x,t)=\frac{Atx}{l}+v(x,t)$

\text{(6)}\quad \begin{cases} u_t - a^2 u_{xx} = 0, & 0 < x < l,\ t > 0, \\ u\big|_{t=0} = 0, & 0 \leqslant x \leqslant l, \\ u_x\big|_{x=0} = 0,\quad u_x\big|_{x=l} = q, & t > 0. \end{cases}

答案

设 $u(x,t)=v(x,t)+\varphi(x,t)$ , 其中 $\varphi(x,t)=\frac{x^2q}{2l}$ , 从而 $v(x,t)$ 在 $x=l$ 边界上为 0.

解得

v(x,t)=\frac{a^2q}{l}t-\frac{ql}{6}+\sum\limits_{n=1}^\infty -\frac{2ql(-1)^n}{n^2\pi^2}e^{-\left(an\pi/l\right)^2t}\cos\frac{n\pi}{l}x

故 $u(x,t)=v(x,t)+\frac{x^2q}{2l}$ .